2x^2+4x+1=0 lösen

$$2 x ^ { 2 } + 4 x + 1 = 0$$

Nach x auflösen

$$x=\frac{\sqrt{2}}{2}-1\approx -0,292893219$$

$$x=-\frac{\sqrt{2}}{2}-1\approx -1,707106781$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$2x^{2}+4x+1=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 2, b durch 4 und c durch 1, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\times 2}}{2\times 2}$$

4 zum Quadrat.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\times 2}}{2\times 2}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 2.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-8}}{2\times 2}$$

Addieren Sie 16 zu -8.

$$x=\frac{-4±\sqrt{8}}{2\times 2}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 8.

$$x=\frac{-4±2\sqrt{2}}{2\times 2}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 2.

$$x=\frac{-4±2\sqrt{2}}{4}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-4±2\sqrt{2}}{4}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -4 zu 2\sqrt{2}.

$$x=\frac{2\sqrt{2}-4}{4}$$

Dividieren Sie -4+2\sqrt{2} durch 4.

$$x=\frac{\sqrt{2}}{2}-1$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-4±2\sqrt{2}}{4}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 2\sqrt{2} von -4.

$$x=\frac{-2\sqrt{2}-4}{4}$$

Dividieren Sie -4-2\sqrt{2} durch 4.

$$x=-\frac{\sqrt{2}}{2}-1$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=\frac{\sqrt{2}}{2}-1 x=-\frac{\sqrt{2}}{2}-1$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$2x^{2}+4x+1=0$$

1 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$2x^{2}+4x+1-1=-1$$

Die Subtraktion von 1 von sich selbst ergibt 0.

$$2x^{2}+4x=-1$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 2.

$$\frac{2x^{2}+4x}{2}=-\frac{1}{2}$$

Division durch 2 macht die Multiplikation mit 2 rückgängig.

$$x^{2}+\frac{4}{2}x=-\frac{1}{2}$$

Dividieren Sie 4 durch 2.

$$x^{2}+2x=-\frac{1}{2}$$

Dividieren Sie 2, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um 1 zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von 1 zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}+2x+1^{2}=-\frac{1}{2}+1^{2}$$

1 zum Quadrat.

$$x^{2}+2x+1=-\frac{1}{2}+1$$

Addieren Sie -\frac{1}{2} zu 1.

$$x^{2}+2x+1=\frac{1}{2}$$

Faktor x^{2}+2x+1. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x+1\right)^{2}=\frac{1}{2}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x+1\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{2}}$$

Vereinfachen.

$$x+1=\frac{\sqrt{2}}{2} x+1=-\frac{\sqrt{2}}{2}$$

1 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$x=\frac{\sqrt{2}}{2}-1 x=-\frac{\sqrt{2}}{2}-1$$