2x^2+3x-90=0 lösen

$$2 x ^ { 2 } + 3 x - 90 = 0$$

Nach x auflösen

$$x = -\frac{15}{2} = -7\frac{1}{2} = -7,5$$

$$x=6$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung mittels Gruppierung

Um die Gleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite durch Gruppieren. Zuerst muss die linke Seite als 2x^{2}+ax+bx-90 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=3 ab=2\left(-90\right)=-180$$

Weil ab negativ ist, haben a und b entgegengesetzte Vorzeichen. Weil a+b positiv ist, hat die positive Zahl einen größeren Absolutwert als die negative. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt -180 ergeben.

$$-1,180 -2,90 -3,60 -4,45 -5,36 -6,30 -9,20 -10,18 -12,15$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$-1+180=179 -2+90=88 -3+60=57 -4+45=41 -5+36=31 -6+30=24 -9+20=11 -10+18=8 -12+15=3$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe 3 ergibt.

$$a=-12 b=15$$

2x^{2}+3x-90 als \left(2x^{2}-12x\right)+\left(15x-90\right) umschreiben.

$$\left(2x^{2}-12x\right)+\left(15x-90\right)$$

Klammern Sie 2x in der ersten und 15 in der zweiten Gruppe aus.

$$2x\left(x-6\right)+15\left(x-6\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term x-6 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(x-6\right)\left(2x+15\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie x-6=0 und 2x+15=0.

$$x=6 x=-\frac{15}{2}$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$2x^{2}+3x-90=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 2, b durch 3 und c durch -90, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\times 2\left(-90\right)}}{2\times 2}$$

3 zum Quadrat.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4\times 2\left(-90\right)}}{2\times 2}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 2.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-8\left(-90\right)}}{2\times 2}$$

Multiplizieren Sie -8 mit -90.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9+720}}{2\times 2}$$

Addieren Sie 9 zu 720.

$$x=\frac{-3±\sqrt{729}}{2\times 2}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 729.

$$x=\frac{-3±27}{2\times 2}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 2.

$$x=\frac{-3±27}{4}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-3±27}{4}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -3 zu 27.

$$x=\frac{24}{4}$$

Dividieren Sie 24 durch 4.

$$x=6$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-3±27}{4}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 27 von -3.

$$x=-\frac{30}{4}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{-30}{4} um den niedrigsten Term, indem Sie 2 extrahieren und aufheben.

$$x=-\frac{15}{2}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=6 x=-\frac{15}{2}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$2x^{2}+3x-90=0$$

Addieren Sie 90 zu beiden Seiten der Gleichung.

$$2x^{2}+3x-90-\left(-90\right)=-\left(-90\right)$$

Die Subtraktion von -90 von sich selbst ergibt 0.

$$2x^{2}+3x=-\left(-90\right)$$

Subtrahieren Sie -90 von 0.

$$2x^{2}+3x=90$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 2.

$$\frac{2x^{2}+3x}{2}=\frac{90}{2}$$

Division durch 2 macht die Multiplikation mit 2 rückgängig.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x=\frac{90}{2}$$

Dividieren Sie 90 durch 2.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x=45$$

Dividieren Sie \frac{3}{2}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um \frac{3}{4} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von \frac{3}{4} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x+\left(\frac{3}{4}\right)^{2}=45+\left(\frac{3}{4}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von \frac{3}{4}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=45+\frac{9}{16}$$

Addieren Sie 45 zu \frac{9}{16}.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=\frac{729}{16}$$

Faktor x^{2}+\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x+\frac{3}{4}\right)^{2}=\frac{729}{16}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{729}{16}}$$

Vereinfachen.

$$x+\frac{3}{4}=\frac{27}{4} x+\frac{3}{4}=-\frac{27}{4}$$

\frac{3}{4} von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$x=6 x=-\frac{15}{2}$$