2x^2+3x-20=0 lösen

$$2 x ^ { 2 } + 3 x - 20 = 0$$

Nach x auflösen

$$x=-4$$

$$x = \frac{5}{2} = 2\frac{1}{2} = 2,5$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung mittels Gruppierung

Um die Gleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite durch Gruppieren. Zuerst muss die linke Seite als 2x^{2}+ax+bx-20 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=3 ab=2\left(-20\right)=-40$$

Weil ab negativ ist, haben a und b entgegengesetzte Vorzeichen. Weil a+b positiv ist, hat die positive Zahl einen größeren Absolutwert als die negative. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt -40 ergeben.

$$-1,40 -2,20 -4,10 -5,8$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$-1+40=39 -2+20=18 -4+10=6 -5+8=3$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe 3 ergibt.

$$a=-5 b=8$$

2x^{2}+3x-20 als \left(2x^{2}-5x\right)+\left(8x-20\right) umschreiben.

$$\left(2x^{2}-5x\right)+\left(8x-20\right)$$

Klammern Sie x in der ersten und 4 in der zweiten Gruppe aus.

$$x\left(2x-5\right)+4\left(2x-5\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term 2x-5 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(2x-5\right)\left(x+4\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie 2x-5=0 und x+4=0.

$$x=\frac{5}{2} x=-4$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$2x^{2}+3x-20=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 2, b durch 3 und c durch -20, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\times 2\left(-20\right)}}{2\times 2}$$

3 zum Quadrat.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4\times 2\left(-20\right)}}{2\times 2}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 2.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-8\left(-20\right)}}{2\times 2}$$

Multiplizieren Sie -8 mit -20.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9+160}}{2\times 2}$$

Addieren Sie 9 zu 160.

$$x=\frac{-3±\sqrt{169}}{2\times 2}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 169.

$$x=\frac{-3±13}{2\times 2}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 2.

$$x=\frac{-3±13}{4}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-3±13}{4}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -3 zu 13.

$$x=\frac{10}{4}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{10}{4} um den niedrigsten Term, indem Sie 2 extrahieren und aufheben.

$$x=\frac{5}{2}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-3±13}{4}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 13 von -3.

$$x=-\frac{16}{4}$$

Dividieren Sie -16 durch 4.

$$x=-4$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=\frac{5}{2} x=-4$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$2x^{2}+3x-20=0$$

Addieren Sie 20 zu beiden Seiten der Gleichung.

$$2x^{2}+3x-20-\left(-20\right)=-\left(-20\right)$$

Die Subtraktion von -20 von sich selbst ergibt 0.

$$2x^{2}+3x=-\left(-20\right)$$

Subtrahieren Sie -20 von 0.

$$2x^{2}+3x=20$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 2.

$$\frac{2x^{2}+3x}{2}=\frac{20}{2}$$

Division durch 2 macht die Multiplikation mit 2 rückgängig.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x=\frac{20}{2}$$

Dividieren Sie 20 durch 2.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x=10$$

Dividieren Sie \frac{3}{2}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um \frac{3}{4} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von \frac{3}{4} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x+\left(\frac{3}{4}\right)^{2}=10+\left(\frac{3}{4}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von \frac{3}{4}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=10+\frac{9}{16}$$

Addieren Sie 10 zu \frac{9}{16}.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=\frac{169}{16}$$

Faktor x^{2}+\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x+\frac{3}{4}\right)^{2}=\frac{169}{16}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{16}}$$

Vereinfachen.

$$x+\frac{3}{4}=\frac{13}{4} x+\frac{3}{4}=-\frac{13}{4}$$

\frac{3}{4} von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$x=\frac{5}{2} x=-4$$