2x^2+2x+1=0 lösen

$$2 x ^ { 2 } + 2 x + 1 = 0$$

Nach x auflösen (komplexe Lösung)

$$x=-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}i=-0,5+0,5i$$

$$x=-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}i=-0,5-0,5i$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$2x^{2}+2x+1=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 2, b durch 2 und c durch 1, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\times 2}}{2\times 2}$$

2 zum Quadrat.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-4\times 2}}{2\times 2}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 2.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-8}}{2\times 2}$$

Addieren Sie 4 zu -8.

$$x=\frac{-2±\sqrt{-4}}{2\times 2}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus -4.

$$x=\frac{-2±2i}{2\times 2}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 2.

$$x=\frac{-2±2i}{4}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-2±2i}{4}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -2 zu 2i.

$$x=\frac{-2+2i}{4}$$

Dividieren Sie -2+2i durch 4.

$$x=-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}i$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-2±2i}{4}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 2i von -2.

$$x=\frac{-2-2i}{4}$$

Dividieren Sie -2-2i durch 4.

$$x=-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}i$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}i x=-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}i$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$2x^{2}+2x+1=0$$

1 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$2x^{2}+2x+1-1=-1$$

Die Subtraktion von 1 von sich selbst ergibt 0.

$$2x^{2}+2x=-1$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 2.

$$\frac{2x^{2}+2x}{2}=-\frac{1}{2}$$

Division durch 2 macht die Multiplikation mit 2 rückgängig.

$$x^{2}+\frac{2}{2}x=-\frac{1}{2}$$

Dividieren Sie 2 durch 2.

$$x^{2}+x=-\frac{1}{2}$$

Dividieren Sie 1, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um \frac{1}{2} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von \frac{1}{2} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}+x+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von \frac{1}{2}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=-\frac{1}{2}+\frac{1}{4}$$

Addieren Sie -\frac{1}{2} zu \frac{1}{4}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=-\frac{1}{4}$$

Faktor x^{2}+x+\frac{1}{4}. Wenn es sich bei x^{2}+bx+c um ein perfektes Quadrat handelt, kann es immer in der Form von \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisiert werden.

$$\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{1}{4}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{1}{4}}$$

Vereinfachen.

$$x+\frac{1}{2}=\frac{1}{2}i x+\frac{1}{2}=-\frac{1}{2}i$$

\frac{1}{2} von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$x=-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}i x=-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}i$$