2x^2+17x+21=0 lösen

$$2 x ^ { 2 } + 17 x + 21 = 0$$

Nach x auflösen

$$x=-7$$

$$x = -\frac{3}{2} = -1\frac{1}{2} = -1,5$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung mittels Gruppierung

Um die Gleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite durch Gruppieren. Zuerst muss die linke Seite als 2x^{2}+ax+bx+21 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=17 ab=2\times 21=42$$

Weil ab positiv ist, haben a und b dasselbe Vorzeichen. Weil a+b positiv ist, sind a und b beide positiv. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt 42 ergeben.

$$1,42 2,21 3,14 6,7$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$1+42=43 2+21=23 3+14=17 6+7=13$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe 17 ergibt.

$$a=3 b=14$$

2x^{2}+17x+21 als \left(2x^{2}+3x\right)+\left(14x+21\right) umschreiben.

$$\left(2x^{2}+3x\right)+\left(14x+21\right)$$

Klammern Sie x in der ersten und 7 in der zweiten Gruppe aus.

$$x\left(2x+3\right)+7\left(2x+3\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term 2x+3 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(2x+3\right)\left(x+7\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie 2x+3=0 und x+7=0.

$$x=-\frac{3}{2} x=-7$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$2x^{2}+17x+21=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 2, b durch 17 und c durch 21, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-17±\sqrt{17^{2}-4\times 2\times 21}}{2\times 2}$$

17 zum Quadrat.

$$x=\frac{-17±\sqrt{289-4\times 2\times 21}}{2\times 2}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 2.

$$x=\frac{-17±\sqrt{289-8\times 21}}{2\times 2}$$

Multiplizieren Sie -8 mit 21.

$$x=\frac{-17±\sqrt{289-168}}{2\times 2}$$

Addieren Sie 289 zu -168.

$$x=\frac{-17±\sqrt{121}}{2\times 2}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 121.

$$x=\frac{-17±11}{2\times 2}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 2.

$$x=\frac{-17±11}{4}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-17±11}{4}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -17 zu 11.

$$x=-\frac{6}{4}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{-6}{4} um den niedrigsten Term, indem Sie 2 extrahieren und aufheben.

$$x=-\frac{3}{2}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-17±11}{4}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 11 von -17.

$$x=-\frac{28}{4}$$

Dividieren Sie -28 durch 4.

$$x=-7$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=-\frac{3}{2} x=-7$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$2x^{2}+17x+21=0$$

21 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$2x^{2}+17x+21-21=-21$$

Die Subtraktion von 21 von sich selbst ergibt 0.

$$2x^{2}+17x=-21$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 2.

$$\frac{2x^{2}+17x}{2}=-\frac{21}{2}$$

Division durch 2 macht die Multiplikation mit 2 rückgängig.

$$x^{2}+\frac{17}{2}x=-\frac{21}{2}$$

Dividieren Sie \frac{17}{2}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um \frac{17}{4} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von \frac{17}{4} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}+\frac{17}{2}x+\left(\frac{17}{4}\right)^{2}=-\frac{21}{2}+\left(\frac{17}{4}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von \frac{17}{4}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}+\frac{17}{2}x+\frac{289}{16}=-\frac{21}{2}+\frac{289}{16}$$

Addieren Sie -\frac{21}{2} zu \frac{289}{16}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$x^{2}+\frac{17}{2}x+\frac{289}{16}=\frac{121}{16}$$

Faktor x^{2}+\frac{17}{2}x+\frac{289}{16}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x+\frac{17}{4}\right)^{2}=\frac{121}{16}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x+\frac{17}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{16}}$$

Vereinfachen.

$$x+\frac{17}{4}=\frac{11}{4} x+\frac{17}{4}=-\frac{11}{4}$$

\frac{17}{4} von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$x=-\frac{3}{2} x=-7$$