2x^2+17x+21 lösen

$$2 x ^ { 2 } + 17 x + 21$$

Faktorisieren

$$\left(x+7\right)\left(2x+3\right)$$

Lösungsschritte

Faktorisieren Sie den Ausdruck durch Gruppieren. Zuerst muss der Ausdruck als 2x^{2}+ax+bx+21 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=17 ab=2\times 21=42$$

Weil ab positiv ist, haben a und b dasselbe Vorzeichen. Weil a+b positiv ist, sind a und b beide positiv. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt 42 ergeben.

$$1,42 2,21 3,14 6,7$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$1+42=43 2+21=23 3+14=17 6+7=13$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe 17 ergibt.

$$a=3 b=14$$

2x^{2}+17x+21 als \left(2x^{2}+3x\right)+\left(14x+21\right) umschreiben.

$$\left(2x^{2}+3x\right)+\left(14x+21\right)$$

Klammern Sie x in der ersten und 7 in der zweiten Gruppe aus.

$$x\left(2x+3\right)+7\left(2x+3\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term 2x+3 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(2x+3\right)\left(x+7\right)$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Ein quadratisches Polynom kann mithilfe der Transformation ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) faktorisiert werden, wobei x_{1} und x_{2} die Lösungen der quadratischen Gleichung ax^{2}+bx+c=0 sind.

$$2x^{2}+17x+21=0$$

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$x=\frac{-17±\sqrt{17^{2}-4\times 2\times 21}}{2\times 2}$$

17 zum Quadrat.

$$x=\frac{-17±\sqrt{289-4\times 2\times 21}}{2\times 2}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 2.

$$x=\frac{-17±\sqrt{289-8\times 21}}{2\times 2}$$

Multiplizieren Sie -8 mit 21.

$$x=\frac{-17±\sqrt{289-168}}{2\times 2}$$

Addieren Sie 289 zu -168.

$$x=\frac{-17±\sqrt{121}}{2\times 2}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 121.

$$x=\frac{-17±11}{2\times 2}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 2.

$$x=\frac{-17±11}{4}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-17±11}{4}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -17 zu 11.

$$x=-\frac{6}{4}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{-6}{4} um den niedrigsten Term, indem Sie 2 extrahieren und aufheben.

$$x=-\frac{3}{2}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-17±11}{4}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 11 von -17.

$$x=-\frac{28}{4}$$

Dividieren Sie -28 durch 4.

$$x=-7$$

Den ursprünglichen Ausdruck mithilfe von ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) faktorisieren. Setzen Sie für x_{1} -\frac{3}{2} und für x_{2} -7 ein.

$$2x^{2}+17x+21=2\left(x-\left(-\frac{3}{2}\right)\right)\left(x-\left(-7\right)\right)$$

Alle Ausdrücke der Form p-\left(-q\right) zu p+q vereinfachen.

$$2x^{2}+17x+21=2\left(x+\frac{3}{2}\right)\left(x+7\right)$$

Addieren Sie \frac{3}{2} zu x, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$2x^{2}+17x+21=2\times \frac{2x+3}{2}\left(x+7\right)$$

Den größten gemeinsamen Faktor 2 in 2 und 2 aufheben.

$$2x^{2}+17x+21=\left(2x+3\right)\left(x+7\right)$$

Auswerten

$$\left(x+7\right)\left(2x+3\right)$$