2t^2-9t+9=0 lösen

$$2 t ^ { 2 } - 9 t + 9 = 0$$

Nach t auflösen

$$t = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1,5$$

$$t=3$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung mittels Gruppierung

Um die Gleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite durch Gruppieren. Zuerst muss die linke Seite als 2t^{2}+at+bt+9 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=-9 ab=2\times 9=18$$

Weil ab positiv ist, haben a und b dasselbe Vorzeichen. Weil a+b negativ ist, sind a und b beide negativ. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt 18 ergeben.

$$-1,-18 -2,-9 -3,-6$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$-1-18=-19 -2-9=-11 -3-6=-9$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe -9 ergibt.

$$a=-6 b=-3$$

2t^{2}-9t+9 als \left(2t^{2}-6t\right)+\left(-3t+9\right) umschreiben.

$$\left(2t^{2}-6t\right)+\left(-3t+9\right)$$

Klammern Sie 2t in der ersten und -3 in der zweiten Gruppe aus.

$$2t\left(t-3\right)-3\left(t-3\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term t-3 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(t-3\right)\left(2t-3\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie t-3=0 und 2t-3=0.

$$t=3 t=\frac{3}{2}$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$2t^{2}-9t+9=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 2, b durch -9 und c durch 9, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$t=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{\left(-9\right)^{2}-4\times 2\times 9}}{2\times 2}$$

-9 zum Quadrat.

$$t=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-4\times 2\times 9}}{2\times 2}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 2.

$$t=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-8\times 9}}{2\times 2}$$

Multiplizieren Sie -8 mit 9.

$$t=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-72}}{2\times 2}$$

Addieren Sie 81 zu -72.

$$t=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{9}}{2\times 2}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 9.

$$t=\frac{-\left(-9\right)±3}{2\times 2}$$

Das Gegenteil von -9 ist 9.

$$t=\frac{9±3}{2\times 2}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 2.

$$t=\frac{9±3}{4}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung t=\frac{9±3}{4}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 9 zu 3.

$$t=\frac{12}{4}$$

Dividieren Sie 12 durch 4.

$$t=3$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung t=\frac{9±3}{4}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 3 von 9.

$$t=\frac{6}{4}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{6}{4} um den niedrigsten Term, indem Sie 2 extrahieren und aufheben.

$$t=\frac{3}{2}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$t=3 t=\frac{3}{2}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$2t^{2}-9t+9=0$$

9 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$2t^{2}-9t+9-9=-9$$

Die Subtraktion von 9 von sich selbst ergibt 0.

$$2t^{2}-9t=-9$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 2.

$$\frac{2t^{2}-9t}{2}=-\frac{9}{2}$$

Division durch 2 macht die Multiplikation mit 2 rückgängig.

$$t^{2}-\frac{9}{2}t=-\frac{9}{2}$$

Dividieren Sie -\frac{9}{2}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -\frac{9}{4} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -\frac{9}{4} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$t^{2}-\frac{9}{2}t+\left(-\frac{9}{4}\right)^{2}=-\frac{9}{2}+\left(-\frac{9}{4}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von -\frac{9}{4}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$t^{2}-\frac{9}{2}t+\frac{81}{16}=-\frac{9}{2}+\frac{81}{16}$$

Addieren Sie -\frac{9}{2} zu \frac{81}{16}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$t^{2}-\frac{9}{2}t+\frac{81}{16}=\frac{9}{16}$$

Faktor t^{2}-\frac{9}{2}t+\frac{81}{16}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(t-\frac{9}{4}\right)^{2}=\frac{9}{16}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(t-\frac{9}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{16}}$$

Vereinfachen.

$$t-\frac{9}{4}=\frac{3}{4} t-\frac{9}{4}=-\frac{3}{4}$$

Addieren Sie \frac{9}{4} zu beiden Seiten der Gleichung.

$$t=3 t=\frac{3}{2}$$