2t^2-7t-7=0 lösen

$$2 t ^ { 2 } - 7 t - 7 = 0$$

Nach t auflösen

$$t = \frac{\sqrt{105} + 7}{4} \approx 4,311737691$$

$$t=\frac{7-\sqrt{105}}{4}\approx -0,811737691$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$2t^{2}-7t-7=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 2, b durch -7 und c durch -7, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$t=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\times 2\left(-7\right)}}{2\times 2}$$

-7 zum Quadrat.

$$t=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-4\times 2\left(-7\right)}}{2\times 2}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 2.

$$t=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-8\left(-7\right)}}{2\times 2}$$

Multiplizieren Sie -8 mit -7.

$$t=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49+56}}{2\times 2}$$

Addieren Sie 49 zu 56.

$$t=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{105}}{2\times 2}$$

Das Gegenteil von -7 ist 7.

$$t=\frac{7±\sqrt{105}}{2\times 2}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 2.

$$t=\frac{7±\sqrt{105}}{4}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung t=\frac{7±\sqrt{105}}{4}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 7 zu \sqrt{105}.

$$t=\frac{\sqrt{105}+7}{4}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung t=\frac{7±\sqrt{105}}{4}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie \sqrt{105} von 7.

$$t=\frac{7-\sqrt{105}}{4}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$t=\frac{\sqrt{105}+7}{4} t=\frac{7-\sqrt{105}}{4}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$2t^{2}-7t-7=0$$

Addieren Sie 7 zu beiden Seiten der Gleichung.

$$2t^{2}-7t-7-\left(-7\right)=-\left(-7\right)$$

Die Subtraktion von -7 von sich selbst ergibt 0.

$$2t^{2}-7t=-\left(-7\right)$$

Subtrahieren Sie -7 von 0.

$$2t^{2}-7t=7$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 2.

$$\frac{2t^{2}-7t}{2}=\frac{7}{2}$$

Division durch 2 macht die Multiplikation mit 2 rückgängig.

$$t^{2}-\frac{7}{2}t=\frac{7}{2}$$

Dividieren Sie -\frac{7}{2}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -\frac{7}{4} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -\frac{7}{4} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$t^{2}-\frac{7}{2}t+\left(-\frac{7}{4}\right)^{2}=\frac{7}{2}+\left(-\frac{7}{4}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von -\frac{7}{4}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$t^{2}-\frac{7}{2}t+\frac{49}{16}=\frac{7}{2}+\frac{49}{16}$$

Addieren Sie \frac{7}{2} zu \frac{49}{16}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$t^{2}-\frac{7}{2}t+\frac{49}{16}=\frac{105}{16}$$

Faktor t^{2}-\frac{7}{2}t+\frac{49}{16}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(t-\frac{7}{4}\right)^{2}=\frac{105}{16}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(t-\frac{7}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{105}{16}}$$

Vereinfachen.

$$t-\frac{7}{4}=\frac{\sqrt{105}}{4} t-\frac{7}{4}=-\frac{\sqrt{105}}{4}$$

Addieren Sie \frac{7}{4} zu beiden Seiten der Gleichung.

$$t=\frac{\sqrt{105}+7}{4} t=\frac{7-\sqrt{105}}{4}$$