2r^2+21r+54=0 lösen

$$2 r ^ { 2 } + 21 r + 54 = 0$$

Nach r auflösen

$$r = -\frac{9}{2} = -4\frac{1}{2} = -4,5$$

$$r=-6$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung mittels Gruppierung

Um die Gleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite durch Gruppieren. Zuerst muss die linke Seite als 2r^{2}+ar+br+54 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=21 ab=2\times 54=108$$

Weil ab positiv ist, haben a und b dasselbe Vorzeichen. Weil a+b positiv ist, sind a und b beide positiv. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt 108 ergeben.

$$1,108 2,54 3,36 4,27 6,18 9,12$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$1+108=109 2+54=56 3+36=39 4+27=31 6+18=24 9+12=21$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe 21 ergibt.

$$a=9 b=12$$

2r^{2}+21r+54 als \left(2r^{2}+9r\right)+\left(12r+54\right) umschreiben.

$$\left(2r^{2}+9r\right)+\left(12r+54\right)$$

Klammern Sie r in der ersten und 6 in der zweiten Gruppe aus.

$$r\left(2r+9\right)+6\left(2r+9\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term 2r+9 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(2r+9\right)\left(r+6\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie 2r+9=0 und r+6=0.

$$r=-\frac{9}{2} r=-6$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$2r^{2}+21r+54=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 2, b durch 21 und c durch 54, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$r=\frac{-21±\sqrt{21^{2}-4\times 2\times 54}}{2\times 2}$$

21 zum Quadrat.

$$r=\frac{-21±\sqrt{441-4\times 2\times 54}}{2\times 2}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 2.

$$r=\frac{-21±\sqrt{441-8\times 54}}{2\times 2}$$

Multiplizieren Sie -8 mit 54.

$$r=\frac{-21±\sqrt{441-432}}{2\times 2}$$

Addieren Sie 441 zu -432.

$$r=\frac{-21±\sqrt{9}}{2\times 2}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 9.

$$r=\frac{-21±3}{2\times 2}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 2.

$$r=\frac{-21±3}{4}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung r=\frac{-21±3}{4}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -21 zu 3.

$$r=-\frac{18}{4}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{-18}{4} um den niedrigsten Term, indem Sie 2 extrahieren und aufheben.

$$r=-\frac{9}{2}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung r=\frac{-21±3}{4}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 3 von -21.

$$r=-\frac{24}{4}$$

Dividieren Sie -24 durch 4.

$$r=-6$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$r=-\frac{9}{2} r=-6$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$2r^{2}+21r+54=0$$

54 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$2r^{2}+21r+54-54=-54$$

Die Subtraktion von 54 von sich selbst ergibt 0.

$$2r^{2}+21r=-54$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 2.

$$\frac{2r^{2}+21r}{2}=-\frac{54}{2}$$

Division durch 2 macht die Multiplikation mit 2 rückgängig.

$$r^{2}+\frac{21}{2}r=-\frac{54}{2}$$

Dividieren Sie -54 durch 2.

$$r^{2}+\frac{21}{2}r=-27$$

Dividieren Sie \frac{21}{2}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um \frac{21}{4} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von \frac{21}{4} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$r^{2}+\frac{21}{2}r+\left(\frac{21}{4}\right)^{2}=-27+\left(\frac{21}{4}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von \frac{21}{4}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$r^{2}+\frac{21}{2}r+\frac{441}{16}=-27+\frac{441}{16}$$

Addieren Sie -27 zu \frac{441}{16}.

$$r^{2}+\frac{21}{2}r+\frac{441}{16}=\frac{9}{16}$$

Faktor r^{2}+\frac{21}{2}r+\frac{441}{16}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(r+\frac{21}{4}\right)^{2}=\frac{9}{16}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(r+\frac{21}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{16}}$$

Vereinfachen.

$$r+\frac{21}{4}=\frac{3}{4} r+\frac{21}{4}=-\frac{3}{4}$$

\frac{21}{4} von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$r=-\frac{9}{2} r=-6$$