2p^2+3p+1 lösen

$$2 p ^ { 2 } + 3 p + 1$$

Faktorisieren

$$\left(p+1\right)\left(2p+1\right)$$

Lösungsschritte

Faktorisieren Sie den Ausdruck durch Gruppieren. Zuerst muss der Ausdruck als 2p^{2}+ap+bp+1 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=3 ab=2\times 1=2$$

Weil ab positiv ist, haben a und b dasselbe Vorzeichen. Weil a+b positiv ist, sind a und b beide positiv. Das einzige derartige Paar ist die Lösung des Systems.

$$a=1 b=2$$

2p^{2}+3p+1 als \left(2p^{2}+p\right)+\left(2p+1\right) umschreiben.

$$\left(2p^{2}+p\right)+\left(2p+1\right)$$

Klammern Sie p in 2p^{2}+p aus.

$$p\left(2p+1\right)+2p+1$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term 2p+1 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(2p+1\right)\left(p+1\right)$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Ein quadratisches Polynom kann mithilfe der Transformation ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) faktorisiert werden, wobei x_{1} und x_{2} die Lösungen der quadratischen Gleichung ax^{2}+bx+c=0 sind.

$$2p^{2}+3p+1=0$$

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$p=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\times 2}}{2\times 2}$$

3 zum Quadrat.

$$p=\frac{-3±\sqrt{9-4\times 2}}{2\times 2}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 2.

$$p=\frac{-3±\sqrt{9-8}}{2\times 2}$$

Addieren Sie 9 zu -8.

$$p=\frac{-3±\sqrt{1}}{2\times 2}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 1.

$$p=\frac{-3±1}{2\times 2}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 2.

$$p=\frac{-3±1}{4}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung p=\frac{-3±1}{4}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -3 zu 1.

$$p=-\frac{2}{4}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{-2}{4} um den niedrigsten Term, indem Sie 2 extrahieren und aufheben.

$$p=-\frac{1}{2}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung p=\frac{-3±1}{4}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 1 von -3.

$$p=-\frac{4}{4}$$

Dividieren Sie -4 durch 4.

$$p=-1$$

Den ursprünglichen Ausdruck mithilfe von ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) faktorisieren. Setzen Sie für x_{1} -\frac{1}{2} und für x_{2} -1 ein.

$$2p^{2}+3p+1=2\left(p-\left(-\frac{1}{2}\right)\right)\left(p-\left(-1\right)\right)$$

Alle Ausdrücke der Form p-\left(-q\right) zu p+q vereinfachen.

$$2p^{2}+3p+1=2\left(p+\frac{1}{2}\right)\left(p+1\right)$$

Addieren Sie \frac{1}{2} zu p, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$2p^{2}+3p+1=2\times \frac{2p+1}{2}\left(p+1\right)$$

Den größten gemeinsamen Faktor 2 in 2 und 2 aufheben.

$$2p^{2}+3p+1=\left(2p+1\right)\left(p+1\right)$$

Auswerten

$$\left(p+1\right)\left(2p+1\right)$$