2k^2+9k=-7 lösen

$$2 k ^ { 2 } + 9 k = - 7$$

Nach k auflösen

$$k = -\frac{7}{2} = -3\frac{1}{2} = -3,5$$

$$k=-1$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung mittels Gruppierung

Auf beiden Seiten 7 addieren.

$$2k^{2}+9k+7=0$$

Um die Gleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite durch Gruppieren. Zuerst muss die linke Seite als 2k^{2}+ak+bk+7 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=9 ab=2\times 7=14$$

Weil ab positiv ist, haben a und b dasselbe Vorzeichen. Weil a+b positiv ist, sind a und b beide positiv. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt 14 ergeben.

$$1,14 2,7$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$1+14=15 2+7=9$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe 9 ergibt.

$$a=2 b=7$$

2k^{2}+9k+7 als \left(2k^{2}+2k\right)+\left(7k+7\right) umschreiben.

$$\left(2k^{2}+2k\right)+\left(7k+7\right)$$

Klammern Sie 2k in der ersten und 7 in der zweiten Gruppe aus.

$$2k\left(k+1\right)+7\left(k+1\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term k+1 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(k+1\right)\left(2k+7\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie k+1=0 und 2k+7=0.

$$k=-1 k=-\frac{7}{2}$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$2k^{2}+9k=-7$$

Addieren Sie 7 zu beiden Seiten der Gleichung.

$$2k^{2}+9k-\left(-7\right)=-7-\left(-7\right)$$

Die Subtraktion von -7 von sich selbst ergibt 0.

$$2k^{2}+9k-\left(-7\right)=0$$

Subtrahieren Sie -7 von 0.

$$2k^{2}+9k+7=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 2, b durch 9 und c durch 7, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$k=\frac{-9±\sqrt{9^{2}-4\times 2\times 7}}{2\times 2}$$

9 zum Quadrat.

$$k=\frac{-9±\sqrt{81-4\times 2\times 7}}{2\times 2}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 2.

$$k=\frac{-9±\sqrt{81-8\times 7}}{2\times 2}$$

Multiplizieren Sie -8 mit 7.

$$k=\frac{-9±\sqrt{81-56}}{2\times 2}$$

Addieren Sie 81 zu -56.

$$k=\frac{-9±\sqrt{25}}{2\times 2}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 25.

$$k=\frac{-9±5}{2\times 2}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 2.

$$k=\frac{-9±5}{4}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung k=\frac{-9±5}{4}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -9 zu 5.

$$k=-\frac{4}{4}$$

Dividieren Sie -4 durch 4.

$$k=-1$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung k=\frac{-9±5}{4}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 5 von -9.

$$k=-\frac{14}{4}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{-14}{4} um den niedrigsten Term, indem Sie 2 extrahieren und aufheben.

$$k=-\frac{7}{2}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$k=-1 k=-\frac{7}{2}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$2k^{2}+9k=-7$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 2.

$$\frac{2k^{2}+9k}{2}=-\frac{7}{2}$$

Division durch 2 macht die Multiplikation mit 2 rückgängig.

$$k^{2}+\frac{9}{2}k=-\frac{7}{2}$$

Dividieren Sie \frac{9}{2}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um \frac{9}{4} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von \frac{9}{4} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$k^{2}+\frac{9}{2}k+\left(\frac{9}{4}\right)^{2}=-\frac{7}{2}+\left(\frac{9}{4}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von \frac{9}{4}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$k^{2}+\frac{9}{2}k+\frac{81}{16}=-\frac{7}{2}+\frac{81}{16}$$

Addieren Sie -\frac{7}{2} zu \frac{81}{16}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$k^{2}+\frac{9}{2}k+\frac{81}{16}=\frac{25}{16}$$

Faktor k^{2}+\frac{9}{2}k+\frac{81}{16}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(k+\frac{9}{4}\right)^{2}=\frac{25}{16}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(k+\frac{9}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25}{16}}$$

Vereinfachen.

$$k+\frac{9}{4}=\frac{5}{4} k+\frac{9}{4}=-\frac{5}{4}$$

\frac{9}{4} von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$k=-1 k=-\frac{7}{2}$$