2j^2+11j+12 lösen

$$2 j ^ { 2 } + 11 j + 12$$

Faktorisieren

$$\left(j+4\right)\left(2j+3\right)$$

Lösungsschritte

Faktorisieren Sie den Ausdruck durch Gruppieren. Zuerst muss der Ausdruck als 2j^{2}+aj+bj+12 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=11 ab=2\times 12=24$$

Weil ab positiv ist, haben a und b dasselbe Vorzeichen. Weil a+b positiv ist, sind a und b beide positiv. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt 24 ergeben.

$$1,24 2,12 3,8 4,6$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$1+24=25 2+12=14 3+8=11 4+6=10$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe 11 ergibt.

$$a=3 b=8$$

2j^{2}+11j+12 als \left(2j^{2}+3j\right)+\left(8j+12\right) umschreiben.

$$\left(2j^{2}+3j\right)+\left(8j+12\right)$$

Klammern Sie j in der ersten und 4 in der zweiten Gruppe aus.

$$j\left(2j+3\right)+4\left(2j+3\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term 2j+3 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(2j+3\right)\left(j+4\right)$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Ein quadratisches Polynom kann mithilfe der Transformation ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) faktorisiert werden, wobei x_{1} und x_{2} die Lösungen der quadratischen Gleichung ax^{2}+bx+c=0 sind.

$$2j^{2}+11j+12=0$$

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$j=\frac{-11±\sqrt{11^{2}-4\times 2\times 12}}{2\times 2}$$

11 zum Quadrat.

$$j=\frac{-11±\sqrt{121-4\times 2\times 12}}{2\times 2}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 2.

$$j=\frac{-11±\sqrt{121-8\times 12}}{2\times 2}$$

Multiplizieren Sie -8 mit 12.

$$j=\frac{-11±\sqrt{121-96}}{2\times 2}$$

Addieren Sie 121 zu -96.

$$j=\frac{-11±\sqrt{25}}{2\times 2}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 25.

$$j=\frac{-11±5}{2\times 2}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 2.

$$j=\frac{-11±5}{4}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung j=\frac{-11±5}{4}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -11 zu 5.

$$j=-\frac{6}{4}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{-6}{4} um den niedrigsten Term, indem Sie 2 extrahieren und aufheben.

$$j=-\frac{3}{2}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung j=\frac{-11±5}{4}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 5 von -11.

$$j=-\frac{16}{4}$$

Dividieren Sie -16 durch 4.

$$j=-4$$

Den ursprünglichen Ausdruck mithilfe von ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) faktorisieren. Setzen Sie für x_{1} -\frac{3}{2} und für x_{2} -4 ein.

$$2j^{2}+11j+12=2\left(j-\left(-\frac{3}{2}\right)\right)\left(j-\left(-4\right)\right)$$

Alle Ausdrücke der Form p-\left(-q\right) zu p+q vereinfachen.

$$2j^{2}+11j+12=2\left(j+\frac{3}{2}\right)\left(j+4\right)$$

Addieren Sie \frac{3}{2} zu j, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$2j^{2}+11j+12=2\times \frac{2j+3}{2}\left(j+4\right)$$

Den größten gemeinsamen Faktor 2 in 2 und 2 aufheben.

$$2j^{2}+11j+12=\left(2j+3\right)\left(j+4\right)$$

Auswerten

$$\left(j+4\right)\left(2j+3\right)$$