2a^2-21a+48=0 lösen

$$2 a ^ { 2 } - 21 a + 48 = 0$$

Nach a auflösen

$$a = \frac{\sqrt{57} + 21}{4} \approx 7,137458609$$

$$a = \frac{21 - \sqrt{57}}{4} \approx 3,362541391$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$2a^{2}-21a+48=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 2, b durch -21 und c durch 48, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$a=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{\left(-21\right)^{2}-4\times 2\times 48}}{2\times 2}$$

-21 zum Quadrat.

$$a=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{441-4\times 2\times 48}}{2\times 2}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 2.

$$a=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{441-8\times 48}}{2\times 2}$$

Multiplizieren Sie -8 mit 48.

$$a=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{441-384}}{2\times 2}$$

Addieren Sie 441 zu -384.

$$a=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{57}}{2\times 2}$$

Das Gegenteil von -21 ist 21.

$$a=\frac{21±\sqrt{57}}{2\times 2}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 2.

$$a=\frac{21±\sqrt{57}}{4}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung a=\frac{21±\sqrt{57}}{4}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 21 zu \sqrt{57}.

$$a=\frac{\sqrt{57}+21}{4}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung a=\frac{21±\sqrt{57}}{4}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie \sqrt{57} von 21.

$$a=\frac{21-\sqrt{57}}{4}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$a=\frac{\sqrt{57}+21}{4} a=\frac{21-\sqrt{57}}{4}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$2a^{2}-21a+48=0$$

48 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$2a^{2}-21a+48-48=-48$$

Die Subtraktion von 48 von sich selbst ergibt 0.

$$2a^{2}-21a=-48$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 2.

$$\frac{2a^{2}-21a}{2}=-\frac{48}{2}$$

Division durch 2 macht die Multiplikation mit 2 rückgängig.

$$a^{2}-\frac{21}{2}a=-\frac{48}{2}$$

Dividieren Sie -48 durch 2.

$$a^{2}-\frac{21}{2}a=-24$$

Dividieren Sie -\frac{21}{2}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -\frac{21}{4} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -\frac{21}{4} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$a^{2}-\frac{21}{2}a+\left(-\frac{21}{4}\right)^{2}=-24+\left(-\frac{21}{4}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von -\frac{21}{4}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$a^{2}-\frac{21}{2}a+\frac{441}{16}=-24+\frac{441}{16}$$

Addieren Sie -24 zu \frac{441}{16}.

$$a^{2}-\frac{21}{2}a+\frac{441}{16}=\frac{57}{16}$$

Faktor a^{2}-\frac{21}{2}a+\frac{441}{16}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(a-\frac{21}{4}\right)^{2}=\frac{57}{16}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(a-\frac{21}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{57}{16}}$$

Vereinfachen.

$$a-\frac{21}{4}=\frac{\sqrt{57}}{4} a-\frac{21}{4}=-\frac{\sqrt{57}}{4}$$

Addieren Sie \frac{21}{4} zu beiden Seiten der Gleichung.

$$a=\frac{\sqrt{57}+21}{4} a=\frac{21-\sqrt{57}}{4}$$