2y^2+5y-12 lösen

$$2 { y }^{ 2 } +5y-12$$

Faktorisieren

$$\left(2y-3\right)\left(y+4\right)$$

Lösungsschritte

Faktorisieren Sie den Ausdruck durch Gruppieren. Zuerst muss der Ausdruck als 2y^{2}+ay+by-12 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=5 ab=2\left(-12\right)=-24$$

Weil ab negativ ist, haben a und b entgegengesetzte Vorzeichen. Weil a+b positiv ist, hat die positive Zahl einen größeren Absolutwert als die negative. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt -24 ergeben.

$$-1,24 -2,12 -3,8 -4,6$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$-1+24=23 -2+12=10 -3+8=5 -4+6=2$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe 5 ergibt.

$$a=-3 b=8$$

2y^{2}+5y-12 als \left(2y^{2}-3y\right)+\left(8y-12\right) umschreiben.

$$\left(2y^{2}-3y\right)+\left(8y-12\right)$$

Klammern Sie y in der ersten und 4 in der zweiten Gruppe aus.

$$y\left(2y-3\right)+4\left(2y-3\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term 2y-3 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(2y-3\right)\left(y+4\right)$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Ein quadratisches Polynom kann mithilfe der Transformation ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) faktorisiert werden, wobei x_{1} und x_{2} die Lösungen der quadratischen Gleichung ax^{2}+bx+c=0 sind.

$$2y^{2}+5y-12=0$$

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$y=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\times 2\left(-12\right)}}{2\times 2}$$

5 zum Quadrat.

$$y=\frac{-5±\sqrt{25-4\times 2\left(-12\right)}}{2\times 2}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 2.

$$y=\frac{-5±\sqrt{25-8\left(-12\right)}}{2\times 2}$$

Multiplizieren Sie -8 mit -12.

$$y=\frac{-5±\sqrt{25+96}}{2\times 2}$$

Addieren Sie 25 zu 96.

$$y=\frac{-5±\sqrt{121}}{2\times 2}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 121.

$$y=\frac{-5±11}{2\times 2}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 2.

$$y=\frac{-5±11}{4}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung y=\frac{-5±11}{4}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -5 zu 11.

$$y=\frac{6}{4}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{6}{4} um den niedrigsten Term, indem Sie 2 extrahieren und aufheben.

$$y=\frac{3}{2}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung y=\frac{-5±11}{4}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 11 von -5.

$$y=-\frac{16}{4}$$

Dividieren Sie -16 durch 4.

$$y=-4$$

Den ursprünglichen Ausdruck mithilfe von ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) faktorisieren. Setzen Sie für x_{1} \frac{3}{2} und für x_{2} -4 ein.

$$2y^{2}+5y-12=2\left(y-\frac{3}{2}\right)\left(y-\left(-4\right)\right)$$

Alle Ausdrücke der Form p-\left(-q\right) zu p+q vereinfachen.

$$2y^{2}+5y-12=2\left(y-\frac{3}{2}\right)\left(y+4\right)$$

Subtrahieren Sie \frac{3}{2} von y, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler subtrahieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$2y^{2}+5y-12=2\times \frac{2y-3}{2}\left(y+4\right)$$

Den größten gemeinsamen Faktor 2 in 2 und 2 aufheben.

$$2y^{2}+5y-12=\left(2y-3\right)\left(y+4\right)$$

Auswerten

$$\left(2y-3\right)\left(y+4\right)$$