2x^2-5x+17=0 lösen

$$2 { x }^{ 2 } -5x+17=0$$

Nach x auflösen (komplexe Lösung)

$$x=\frac{5+\sqrt{111}i}{4}\approx 1,25+2,633913438i$$

$$x=\frac{-\sqrt{111}i+5}{4}\approx 1,25-2,633913438i$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$2x^{2}-5x+17=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 2, b durch -5 und c durch 17, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 2\times 17}}{2\times 2}$$

-5 zum Quadrat.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 2\times 17}}{2\times 2}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 2.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-8\times 17}}{2\times 2}$$

Multiplizieren Sie -8 mit 17.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-136}}{2\times 2}$$

Addieren Sie 25 zu -136.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{-111}}{2\times 2}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus -111.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{111}i}{2\times 2}$$

Das Gegenteil von -5 ist 5.

$$x=\frac{5±\sqrt{111}i}{2\times 2}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 2.

$$x=\frac{5±\sqrt{111}i}{4}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{5±\sqrt{111}i}{4}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 5 zu i\sqrt{111}.

$$x=\frac{5+\sqrt{111}i}{4}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{5±\sqrt{111}i}{4}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie i\sqrt{111} von 5.

$$x=\frac{-\sqrt{111}i+5}{4}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=\frac{5+\sqrt{111}i}{4} x=\frac{-\sqrt{111}i+5}{4}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$2x^{2}-5x+17=0$$

17 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$2x^{2}-5x+17-17=-17$$

Die Subtraktion von 17 von sich selbst ergibt 0.

$$2x^{2}-5x=-17$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 2.

$$\frac{2x^{2}-5x}{2}=-\frac{17}{2}$$

Division durch 2 macht die Multiplikation mit 2 rückgängig.

$$x^{2}-\frac{5}{2}x=-\frac{17}{2}$$

Dividieren Sie -\frac{5}{2}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -\frac{5}{4} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -\frac{5}{4} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}-\frac{5}{2}x+\left(-\frac{5}{4}\right)^{2}=-\frac{17}{2}+\left(-\frac{5}{4}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von -\frac{5}{4}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}-\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}=-\frac{17}{2}+\frac{25}{16}$$

Addieren Sie -\frac{17}{2} zu \frac{25}{16}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$x^{2}-\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}=-\frac{111}{16}$$

Faktor x^{2}-\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x-\frac{5}{4}\right)^{2}=-\frac{111}{16}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{4}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{111}{16}}$$

Vereinfachen.

$$x-\frac{5}{4}=\frac{\sqrt{111}i}{4} x-\frac{5}{4}=-\frac{\sqrt{111}i}{4}$$

Addieren Sie \frac{5}{4} zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x=\frac{5+\sqrt{111}i}{4} x=\frac{-\sqrt{111}i+5}{4}$$