2x^2-34x+20=0 lösen

$$2 { x }^{ 2 } -34x+20=0$$

Nach x auflösen

$$x = \frac{\sqrt{249} + 17}{2} \approx 16,389866919$$

$$x=\frac{17-\sqrt{249}}{2}\approx 0,610133081$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$2x^{2}-34x+20=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 2, b durch -34 und c durch 20, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-34\right)±\sqrt{\left(-34\right)^{2}-4\times 2\times 20}}{2\times 2}$$

-34 zum Quadrat.

$$x=\frac{-\left(-34\right)±\sqrt{1156-4\times 2\times 20}}{2\times 2}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 2.

$$x=\frac{-\left(-34\right)±\sqrt{1156-8\times 20}}{2\times 2}$$

Multiplizieren Sie -8 mit 20.

$$x=\frac{-\left(-34\right)±\sqrt{1156-160}}{2\times 2}$$

Addieren Sie 1156 zu -160.

$$x=\frac{-\left(-34\right)±\sqrt{996}}{2\times 2}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 996.

$$x=\frac{-\left(-34\right)±2\sqrt{249}}{2\times 2}$$

Das Gegenteil von -34 ist 34.

$$x=\frac{34±2\sqrt{249}}{2\times 2}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 2.

$$x=\frac{34±2\sqrt{249}}{4}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{34±2\sqrt{249}}{4}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 34 zu 2\sqrt{249}.

$$x=\frac{2\sqrt{249}+34}{4}$$

Dividieren Sie 34+2\sqrt{249} durch 4.

$$x=\frac{\sqrt{249}+17}{2}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{34±2\sqrt{249}}{4}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 2\sqrt{249} von 34.

$$x=\frac{34-2\sqrt{249}}{4}$$

Dividieren Sie 34-2\sqrt{249} durch 4.

$$x=\frac{17-\sqrt{249}}{2}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=\frac{\sqrt{249}+17}{2} x=\frac{17-\sqrt{249}}{2}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$2x^{2}-34x+20=0$$

20 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$2x^{2}-34x+20-20=-20$$

Die Subtraktion von 20 von sich selbst ergibt 0.

$$2x^{2}-34x=-20$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 2.

$$\frac{2x^{2}-34x}{2}=-\frac{20}{2}$$

Division durch 2 macht die Multiplikation mit 2 rückgängig.

$$x^{2}+\left(-\frac{34}{2}\right)x=-\frac{20}{2}$$

Dividieren Sie -34 durch 2.

$$x^{2}-17x=-\frac{20}{2}$$

Dividieren Sie -20 durch 2.

$$x^{2}-17x=-10$$

Dividieren Sie -17, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -\frac{17}{2} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -\frac{17}{2} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}-17x+\left(-\frac{17}{2}\right)^{2}=-10+\left(-\frac{17}{2}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von -\frac{17}{2}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}-17x+\frac{289}{4}=-10+\frac{289}{4}$$

Addieren Sie -10 zu \frac{289}{4}.

$$x^{2}-17x+\frac{289}{4}=\frac{249}{4}$$

Faktor x^{2}-17x+\frac{289}{4}. Wenn es sich bei x^{2}+bx+c um ein perfektes Quadrat handelt, kann es immer in der Form von \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisiert werden.

$$\left(x-\frac{17}{2}\right)^{2}=\frac{249}{4}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x-\frac{17}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{249}{4}}$$

Vereinfachen.

$$x-\frac{17}{2}=\frac{\sqrt{249}}{2} x-\frac{17}{2}=-\frac{\sqrt{249}}{2}$$

Addieren Sie \frac{17}{2} zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x=\frac{\sqrt{249}+17}{2} x=\frac{17-\sqrt{249}}{2}$$