2x^2-14x-54=0 lösen

$$2 { x }^{ 2 } -14x-54=0$$

Nach x auflösen

$$x = \frac{\sqrt{157} + 7}{2} \approx 9,764982043$$

$$x=\frac{7-\sqrt{157}}{2}\approx -2,764982043$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$2x^{2}-14x-54=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 2, b durch -14 und c durch -54, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{\left(-14\right)^{2}-4\times 2\left(-54\right)}}{2\times 2}$$

-14 zum Quadrat.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-4\times 2\left(-54\right)}}{2\times 2}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 2.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-8\left(-54\right)}}{2\times 2}$$

Multiplizieren Sie -8 mit -54.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196+432}}{2\times 2}$$

Addieren Sie 196 zu 432.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{628}}{2\times 2}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 628.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±2\sqrt{157}}{2\times 2}$$

Das Gegenteil von -14 ist 14.

$$x=\frac{14±2\sqrt{157}}{2\times 2}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 2.

$$x=\frac{14±2\sqrt{157}}{4}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{14±2\sqrt{157}}{4}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 14 zu 2\sqrt{157}.

$$x=\frac{2\sqrt{157}+14}{4}$$

Dividieren Sie 14+2\sqrt{157} durch 4.

$$x=\frac{\sqrt{157}+7}{2}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{14±2\sqrt{157}}{4}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 2\sqrt{157} von 14.

$$x=\frac{14-2\sqrt{157}}{4}$$

Dividieren Sie 14-2\sqrt{157} durch 4.

$$x=\frac{7-\sqrt{157}}{2}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=\frac{\sqrt{157}+7}{2} x=\frac{7-\sqrt{157}}{2}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$2x^{2}-14x-54=0$$

Addieren Sie 54 zu beiden Seiten der Gleichung.

$$2x^{2}-14x-54-\left(-54\right)=-\left(-54\right)$$

Die Subtraktion von -54 von sich selbst ergibt 0.

$$2x^{2}-14x=-\left(-54\right)$$

Subtrahieren Sie -54 von 0.

$$2x^{2}-14x=54$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 2.

$$\frac{2x^{2}-14x}{2}=\frac{54}{2}$$

Division durch 2 macht die Multiplikation mit 2 rückgängig.

$$x^{2}+\left(-\frac{14}{2}\right)x=\frac{54}{2}$$

Dividieren Sie -14 durch 2.

$$x^{2}-7x=\frac{54}{2}$$

Dividieren Sie 54 durch 2.

$$x^{2}-7x=27$$

Dividieren Sie -7, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -\frac{7}{2} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -\frac{7}{2} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}-7x+\left(-\frac{7}{2}\right)^{2}=27+\left(-\frac{7}{2}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von -\frac{7}{2}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}-7x+\frac{49}{4}=27+\frac{49}{4}$$

Addieren Sie 27 zu \frac{49}{4}.

$$x^{2}-7x+\frac{49}{4}=\frac{157}{4}$$

Faktor x^{2}-7x+\frac{49}{4}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x-\frac{7}{2}\right)^{2}=\frac{157}{4}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{157}{4}}$$

Vereinfachen.

$$x-\frac{7}{2}=\frac{\sqrt{157}}{2} x-\frac{7}{2}=-\frac{\sqrt{157}}{2}$$

Addieren Sie \frac{7}{2} zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x=\frac{\sqrt{157}+7}{2} x=\frac{7-\sqrt{157}}{2}$$