2x^2-13x+21=0 lösen

$$2 { x }^{ 2 } -13x+21 = 0$$

Nach x auflösen

$$x=3$$

$$x = \frac{7}{2} = 3\frac{1}{2} = 3,5$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung mittels Gruppierung

Um die Gleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite durch Gruppieren. Zuerst muss die linke Seite als 2x^{2}+ax+bx+21 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=-13 ab=2\times 21=42$$

Weil ab positiv ist, haben a und b dasselbe Vorzeichen. Weil a+b negativ ist, sind a und b beide negativ. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt 42 ergeben.

$$-1,-42 -2,-21 -3,-14 -6,-7$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$-1-42=-43 -2-21=-23 -3-14=-17 -6-7=-13$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe -13 ergibt.

$$a=-7 b=-6$$

2x^{2}-13x+21 als \left(2x^{2}-7x\right)+\left(-6x+21\right) umschreiben.

$$\left(2x^{2}-7x\right)+\left(-6x+21\right)$$

Klammern Sie x in der ersten und -3 in der zweiten Gruppe aus.

$$x\left(2x-7\right)-3\left(2x-7\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term 2x-7 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(2x-7\right)\left(x-3\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie 2x-7=0 und x-3=0.

$$x=\frac{7}{2} x=3$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$2x^{2}-13x+21=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 2, b durch -13 und c durch 21, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{\left(-13\right)^{2}-4\times 2\times 21}}{2\times 2}$$

-13 zum Quadrat.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{169-4\times 2\times 21}}{2\times 2}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 2.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{169-8\times 21}}{2\times 2}$$

Multiplizieren Sie -8 mit 21.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{169-168}}{2\times 2}$$

Addieren Sie 169 zu -168.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{1}}{2\times 2}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 1.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±1}{2\times 2}$$

Das Gegenteil von -13 ist 13.

$$x=\frac{13±1}{2\times 2}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 2.

$$x=\frac{13±1}{4}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{13±1}{4}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 13 zu 1.

$$x=\frac{14}{4}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{14}{4} um den niedrigsten Term, indem Sie 2 extrahieren und aufheben.

$$x=\frac{7}{2}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{13±1}{4}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 1 von 13.

$$x=\frac{12}{4}$$

Dividieren Sie 12 durch 4.

$$x=3$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=\frac{7}{2} x=3$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$2x^{2}-13x+21=0$$

21 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$2x^{2}-13x+21-21=-21$$

Die Subtraktion von 21 von sich selbst ergibt 0.

$$2x^{2}-13x=-21$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 2.

$$\frac{2x^{2}-13x}{2}=-\frac{21}{2}$$

Division durch 2 macht die Multiplikation mit 2 rückgängig.

$$x^{2}-\frac{13}{2}x=-\frac{21}{2}$$

Dividieren Sie -\frac{13}{2}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -\frac{13}{4} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -\frac{13}{4} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}-\frac{13}{2}x+\left(-\frac{13}{4}\right)^{2}=-\frac{21}{2}+\left(-\frac{13}{4}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von -\frac{13}{4}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}-\frac{13}{2}x+\frac{169}{16}=-\frac{21}{2}+\frac{169}{16}$$

Addieren Sie -\frac{21}{2} zu \frac{169}{16}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$x^{2}-\frac{13}{2}x+\frac{169}{16}=\frac{1}{16}$$

Faktor x^{2}-\frac{13}{2}x+\frac{169}{16}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x-\frac{13}{4}\right)^{2}=\frac{1}{16}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x-\frac{13}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{16}}$$

Vereinfachen.

$$x-\frac{13}{4}=\frac{1}{4} x-\frac{13}{4}=-\frac{1}{4}$$

Addieren Sie \frac{13}{4} zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x=\frac{7}{2} x=3$$