2x^2-12x-1=0 lösen

$$2 { x }^{ 2 } -12x-1=0$$

Nach x auflösen

$$x=\frac{\sqrt{38}}{2}+3\approx 6,082207001$$

$$x=-\frac{\sqrt{38}}{2}+3\approx -0,082207001$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$2x^{2}-12x-1=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 2, b durch -12 und c durch -1, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 2\left(-1\right)}}{2\times 2}$$

-12 zum Quadrat.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-4\times 2\left(-1\right)}}{2\times 2}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 2.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-8\left(-1\right)}}{2\times 2}$$

Multiplizieren Sie -8 mit -1.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144+8}}{2\times 2}$$

Addieren Sie 144 zu 8.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{152}}{2\times 2}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 152.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±2\sqrt{38}}{2\times 2}$$

Das Gegenteil von -12 ist 12.

$$x=\frac{12±2\sqrt{38}}{2\times 2}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 2.

$$x=\frac{12±2\sqrt{38}}{4}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{12±2\sqrt{38}}{4}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 12 zu 2\sqrt{38}.

$$x=\frac{2\sqrt{38}+12}{4}$$

Dividieren Sie 12+2\sqrt{38} durch 4.

$$x=\frac{\sqrt{38}}{2}+3$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{12±2\sqrt{38}}{4}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 2\sqrt{38} von 12.

$$x=\frac{12-2\sqrt{38}}{4}$$

Dividieren Sie 12-2\sqrt{38} durch 4.

$$x=-\frac{\sqrt{38}}{2}+3$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=\frac{\sqrt{38}}{2}+3 x=-\frac{\sqrt{38}}{2}+3$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$2x^{2}-12x-1=0$$

Addieren Sie 1 zu beiden Seiten der Gleichung.

$$2x^{2}-12x-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

Die Subtraktion von -1 von sich selbst ergibt 0.

$$2x^{2}-12x=-\left(-1\right)$$

Subtrahieren Sie -1 von 0.

$$2x^{2}-12x=1$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 2.

$$\frac{2x^{2}-12x}{2}=\frac{1}{2}$$

Division durch 2 macht die Multiplikation mit 2 rückgängig.

$$x^{2}+\left(-\frac{12}{2}\right)x=\frac{1}{2}$$

Dividieren Sie -12 durch 2.

$$x^{2}-6x=\frac{1}{2}$$

Dividieren Sie -6, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -3 zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -3 zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}-6x+\left(-3\right)^{2}=\frac{1}{2}+\left(-3\right)^{2}$$

-3 zum Quadrat.

$$x^{2}-6x+9=\frac{1}{2}+9$$

Addieren Sie \frac{1}{2} zu 9.

$$x^{2}-6x+9=\frac{19}{2}$$

Faktor x^{2}-6x+9. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x-3\right)^{2}=\frac{19}{2}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x-3\right)^{2}}=\sqrt{\frac{19}{2}}$$

Vereinfachen.

$$x-3=\frac{\sqrt{38}}{2} x-3=-\frac{\sqrt{38}}{2}$$

Addieren Sie 3 zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x=\frac{\sqrt{38}}{2}+3 x=-\frac{\sqrt{38}}{2}+3$$