2x^2-11x-40=0 lösen

$$2 { x }^{ 2 } -11x-40=0$$

Nach x auflösen

$$x = -\frac{5}{2} = -2\frac{1}{2} = -2,5$$

$$x=8$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung mittels Gruppierung

Um die Gleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite durch Gruppieren. Zuerst muss die linke Seite als 2x^{2}+ax+bx-40 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=-11 ab=2\left(-40\right)=-80$$

Weil ab negativ ist, haben a und b entgegengesetzte Vorzeichen. Weil a+b negativ ist, hat die negative Zahl einen größeren Absolutwert als die positive. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt -80 ergeben.

$$1,-80 2,-40 4,-20 5,-16 8,-10$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$1-80=-79 2-40=-38 4-20=-16 5-16=-11 8-10=-2$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe -11 ergibt.

$$a=-16 b=5$$

2x^{2}-11x-40 als \left(2x^{2}-16x\right)+\left(5x-40\right) umschreiben.

$$\left(2x^{2}-16x\right)+\left(5x-40\right)$$

Klammern Sie 2x in der ersten und 5 in der zweiten Gruppe aus.

$$2x\left(x-8\right)+5\left(x-8\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term x-8 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(x-8\right)\left(2x+5\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie x-8=0 und 2x+5=0.

$$x=8 x=-\frac{5}{2}$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$2x^{2}-11x-40=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 2, b durch -11 und c durch -40, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{\left(-11\right)^{2}-4\times 2\left(-40\right)}}{2\times 2}$$

-11 zum Quadrat.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-4\times 2\left(-40\right)}}{2\times 2}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 2.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-8\left(-40\right)}}{2\times 2}$$

Multiplizieren Sie -8 mit -40.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121+320}}{2\times 2}$$

Addieren Sie 121 zu 320.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{441}}{2\times 2}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 441.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±21}{2\times 2}$$

Das Gegenteil von -11 ist 11.

$$x=\frac{11±21}{2\times 2}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 2.

$$x=\frac{11±21}{4}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{11±21}{4}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 11 zu 21.

$$x=\frac{32}{4}$$

Dividieren Sie 32 durch 4.

$$x=8$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{11±21}{4}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 21 von 11.

$$x=-\frac{10}{4}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{-10}{4} um den niedrigsten Term, indem Sie 2 extrahieren und aufheben.

$$x=-\frac{5}{2}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=8 x=-\frac{5}{2}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$2x^{2}-11x-40=0$$

Addieren Sie 40 zu beiden Seiten der Gleichung.

$$2x^{2}-11x-40-\left(-40\right)=-\left(-40\right)$$

Die Subtraktion von -40 von sich selbst ergibt 0.

$$2x^{2}-11x=-\left(-40\right)$$

Subtrahieren Sie -40 von 0.

$$2x^{2}-11x=40$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 2.

$$\frac{2x^{2}-11x}{2}=\frac{40}{2}$$

Division durch 2 macht die Multiplikation mit 2 rückgängig.

$$x^{2}-\frac{11}{2}x=\frac{40}{2}$$

Dividieren Sie 40 durch 2.

$$x^{2}-\frac{11}{2}x=20$$

Dividieren Sie -\frac{11}{2}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -\frac{11}{4} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -\frac{11}{4} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}-\frac{11}{2}x+\left(-\frac{11}{4}\right)^{2}=20+\left(-\frac{11}{4}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von -\frac{11}{4}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}-\frac{11}{2}x+\frac{121}{16}=20+\frac{121}{16}$$

Addieren Sie 20 zu \frac{121}{16}.

$$x^{2}-\frac{11}{2}x+\frac{121}{16}=\frac{441}{16}$$

Faktor x^{2}-\frac{11}{2}x+\frac{121}{16}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x-\frac{11}{4}\right)^{2}=\frac{441}{16}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x-\frac{11}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{441}{16}}$$

Vereinfachen.

$$x-\frac{11}{4}=\frac{21}{4} x-\frac{11}{4}=-\frac{21}{4}$$

Addieren Sie \frac{11}{4} zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x=8 x=-\frac{5}{2}$$