2x^2+x-528=0 lösen

$$2 { x }^{ 2 } +x-528=0$$

Nach x auflösen

$$x = -\frac{33}{2} = -16\frac{1}{2} = -16,5$$

$$x=16$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung mittels Gruppierung

Um die Gleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite durch Gruppieren. Zuerst muss die linke Seite als 2x^{2}+ax+bx-528 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=1 ab=2\left(-528\right)=-1056$$

Weil ab negativ ist, haben a und b entgegengesetzte Vorzeichen. Weil a+b positiv ist, hat die positive Zahl einen größeren Absolutwert als die negative. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt -1056 ergeben.

$$-1,1056 -2,528 -3,352 -4,264 -6,176 -8,132 -11,96 -12,88 -16,66 -22,48 -24,44 -32,33$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$-1+1056=1055 -2+528=526 -3+352=349 -4+264=260 -6+176=170 -8+132=124 -11+96=85 -12+88=76 -16+66=50 -22+48=26 -24+44=20 -32+33=1$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe 1 ergibt.

$$a=-32 b=33$$

2x^{2}+x-528 als \left(2x^{2}-32x\right)+\left(33x-528\right) umschreiben.

$$\left(2x^{2}-32x\right)+\left(33x-528\right)$$

Klammern Sie 2x in der ersten und 33 in der zweiten Gruppe aus.

$$2x\left(x-16\right)+33\left(x-16\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term x-16 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(x-16\right)\left(2x+33\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie x-16=0 und 2x+33=0.

$$x=16 x=-\frac{33}{2}$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$2x^{2}+x-528=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 2, b durch 1 und c durch -528, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\times 2\left(-528\right)}}{2\times 2}$$

1 zum Quadrat.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-4\times 2\left(-528\right)}}{2\times 2}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 2.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-8\left(-528\right)}}{2\times 2}$$

Multiplizieren Sie -8 mit -528.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1+4224}}{2\times 2}$$

Addieren Sie 1 zu 4224.

$$x=\frac{-1±\sqrt{4225}}{2\times 2}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 4225.

$$x=\frac{-1±65}{2\times 2}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 2.

$$x=\frac{-1±65}{4}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-1±65}{4}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -1 zu 65.

$$x=\frac{64}{4}$$

Dividieren Sie 64 durch 4.

$$x=16$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-1±65}{4}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 65 von -1.

$$x=-\frac{66}{4}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{-66}{4} um den niedrigsten Term, indem Sie 2 extrahieren und aufheben.

$$x=-\frac{33}{2}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=16 x=-\frac{33}{2}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$2x^{2}+x-528=0$$

Addieren Sie 528 zu beiden Seiten der Gleichung.

$$2x^{2}+x-528-\left(-528\right)=-\left(-528\right)$$

Die Subtraktion von -528 von sich selbst ergibt 0.

$$2x^{2}+x=-\left(-528\right)$$

Subtrahieren Sie -528 von 0.

$$2x^{2}+x=528$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 2.

$$\frac{2x^{2}+x}{2}=\frac{528}{2}$$

Division durch 2 macht die Multiplikation mit 2 rückgängig.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x=\frac{528}{2}$$

Dividieren Sie 528 durch 2.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x=264$$

Dividieren Sie \frac{1}{2}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um \frac{1}{4} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von \frac{1}{4} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\left(\frac{1}{4}\right)^{2}=264+\left(\frac{1}{4}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von \frac{1}{4}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=264+\frac{1}{16}$$

Addieren Sie 264 zu \frac{1}{16}.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{4225}{16}$$

Faktor x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x+\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{4225}{16}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{4225}{16}}$$

Vereinfachen.

$$x+\frac{1}{4}=\frac{65}{4} x+\frac{1}{4}=-\frac{65}{4}$$

\frac{1}{4} von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$x=16 x=-\frac{33}{2}$$