2x^2+7x-15 lösen

$$2 { x }^{ 2 } +7x-15$$

Faktorisieren

$$\left(2x-3\right)\left(x+5\right)$$

Lösungsschritte

Faktorisieren Sie den Ausdruck durch Gruppieren. Zuerst muss der Ausdruck als 2x^{2}+ax+bx-15 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=7 ab=2\left(-15\right)=-30$$

Weil ab negativ ist, haben a und b entgegengesetzte Vorzeichen. Weil a+b positiv ist, hat die positive Zahl einen größeren Absolutwert als die negative. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt -30 ergeben.

$$-1,30 -2,15 -3,10 -5,6$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$-1+30=29 -2+15=13 -3+10=7 -5+6=1$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe 7 ergibt.

$$a=-3 b=10$$

2x^{2}+7x-15 als \left(2x^{2}-3x\right)+\left(10x-15\right) umschreiben.

$$\left(2x^{2}-3x\right)+\left(10x-15\right)$$

Klammern Sie x in der ersten und 5 in der zweiten Gruppe aus.

$$x\left(2x-3\right)+5\left(2x-3\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term 2x-3 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(2x-3\right)\left(x+5\right)$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Ein quadratisches Polynom kann mithilfe der Transformation ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) faktorisiert werden, wobei x_{1} und x_{2} die Lösungen der quadratischen Gleichung ax^{2}+bx+c=0 sind.

$$2x^{2}+7x-15=0$$

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$x=\frac{-7±\sqrt{7^{2}-4\times 2\left(-15\right)}}{2\times 2}$$

7 zum Quadrat.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-4\times 2\left(-15\right)}}{2\times 2}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 2.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-8\left(-15\right)}}{2\times 2}$$

Multiplizieren Sie -8 mit -15.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49+120}}{2\times 2}$$

Addieren Sie 49 zu 120.

$$x=\frac{-7±\sqrt{169}}{2\times 2}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 169.

$$x=\frac{-7±13}{2\times 2}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 2.

$$x=\frac{-7±13}{4}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-7±13}{4}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -7 zu 13.

$$x=\frac{6}{4}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{6}{4} um den niedrigsten Term, indem Sie 2 extrahieren und aufheben.

$$x=\frac{3}{2}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-7±13}{4}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 13 von -7.

$$x=-\frac{20}{4}$$

Dividieren Sie -20 durch 4.

$$x=-5$$

Den ursprünglichen Ausdruck mithilfe von ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) faktorisieren. Setzen Sie für x_{1} \frac{3}{2} und für x_{2} -5 ein.

$$2x^{2}+7x-15=2\left(x-\frac{3}{2}\right)\left(x-\left(-5\right)\right)$$

Alle Ausdrücke der Form p-\left(-q\right) zu p+q vereinfachen.

$$2x^{2}+7x-15=2\left(x-\frac{3}{2}\right)\left(x+5\right)$$

Subtrahieren Sie \frac{3}{2} von x, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler subtrahieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$2x^{2}+7x-15=2\times \frac{2x-3}{2}\left(x+5\right)$$

Den größten gemeinsamen Faktor 2 in 2 und 2 aufheben.

$$2x^{2}+7x-15=\left(2x-3\right)\left(x+5\right)$$

Auswerten

$$\left(2x-3\right)\left(x+5\right)$$