2x^2+5x-817=0 lösen

$$2 { x }^{ 2 } +5x-817 = 0$$

Nach x auflösen

$$x = -\frac{43}{2} = -21\frac{1}{2} = -21,5$$

$$x=19$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung mittels Gruppierung

Um die Gleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite durch Gruppieren. Zuerst muss die linke Seite als 2x^{2}+ax+bx-817 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=5 ab=2\left(-817\right)=-1634$$

Weil ab negativ ist, haben a und b entgegengesetzte Vorzeichen. Weil a+b positiv ist, hat die positive Zahl einen größeren Absolutwert als die negative. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt -1634 ergeben.

$$-1,1634 -2,817 -19,86 -38,43$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$-1+1634=1633 -2+817=815 -19+86=67 -38+43=5$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe 5 ergibt.

$$a=-38 b=43$$

2x^{2}+5x-817 als \left(2x^{2}-38x\right)+\left(43x-817\right) umschreiben.

$$\left(2x^{2}-38x\right)+\left(43x-817\right)$$

Klammern Sie 2x in der ersten und 43 in der zweiten Gruppe aus.

$$2x\left(x-19\right)+43\left(x-19\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term x-19 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(x-19\right)\left(2x+43\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie x-19=0 und 2x+43=0.

$$x=19 x=-\frac{43}{2}$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$2x^{2}+5x-817=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 2, b durch 5 und c durch -817, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\times 2\left(-817\right)}}{2\times 2}$$

5 zum Quadrat.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-4\times 2\left(-817\right)}}{2\times 2}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 2.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-8\left(-817\right)}}{2\times 2}$$

Multiplizieren Sie -8 mit -817.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25+6536}}{2\times 2}$$

Addieren Sie 25 zu 6536.

$$x=\frac{-5±\sqrt{6561}}{2\times 2}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 6561.

$$x=\frac{-5±81}{2\times 2}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 2.

$$x=\frac{-5±81}{4}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-5±81}{4}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -5 zu 81.

$$x=\frac{76}{4}$$

Dividieren Sie 76 durch 4.

$$x=19$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-5±81}{4}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 81 von -5.

$$x=-\frac{86}{4}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{-86}{4} um den niedrigsten Term, indem Sie 2 extrahieren und aufheben.

$$x=-\frac{43}{2}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=19 x=-\frac{43}{2}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$2x^{2}+5x-817=0$$

Addieren Sie 817 zu beiden Seiten der Gleichung.

$$2x^{2}+5x-817-\left(-817\right)=-\left(-817\right)$$

Die Subtraktion von -817 von sich selbst ergibt 0.

$$2x^{2}+5x=-\left(-817\right)$$

Subtrahieren Sie -817 von 0.

$$2x^{2}+5x=817$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 2.

$$\frac{2x^{2}+5x}{2}=\frac{817}{2}$$

Division durch 2 macht die Multiplikation mit 2 rückgängig.

$$x^{2}+\frac{5}{2}x=\frac{817}{2}$$

Dividieren Sie \frac{5}{2}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um \frac{5}{4} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von \frac{5}{4} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}+\frac{5}{2}x+\left(\frac{5}{4}\right)^{2}=\frac{817}{2}+\left(\frac{5}{4}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von \frac{5}{4}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}+\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}=\frac{817}{2}+\frac{25}{16}$$

Addieren Sie \frac{817}{2} zu \frac{25}{16}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$x^{2}+\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}=\frac{6561}{16}$$

Faktor x^{2}+\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x+\frac{5}{4}\right)^{2}=\frac{6561}{16}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{6561}{16}}$$

Vereinfachen.

$$x+\frac{5}{4}=\frac{81}{4} x+\frac{5}{4}=-\frac{81}{4}$$

\frac{5}{4} von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$x=19 x=-\frac{43}{2}$$