2x^2+5x-168=0 lösen

$$2 { x }^{ 2 } +5x-168=0$$

Nach x auflösen

$$x = -\frac{21}{2} = -10\frac{1}{2} = -10,5$$

$$x=8$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung mittels Gruppierung

Um die Gleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite durch Gruppieren. Zuerst muss die linke Seite als 2x^{2}+ax+bx-168 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=5 ab=2\left(-168\right)=-336$$

Weil ab negativ ist, haben a und b entgegengesetzte Vorzeichen. Weil a+b positiv ist, hat die positive Zahl einen größeren Absolutwert als die negative. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt -336 ergeben.

$$-1,336 -2,168 -3,112 -4,84 -6,56 -7,48 -8,42 -12,28 -14,24 -16,21$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$-1+336=335 -2+168=166 -3+112=109 -4+84=80 -6+56=50 -7+48=41 -8+42=34 -12+28=16 -14+24=10 -16+21=5$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe 5 ergibt.

$$a=-16 b=21$$

2x^{2}+5x-168 als \left(2x^{2}-16x\right)+\left(21x-168\right) umschreiben.

$$\left(2x^{2}-16x\right)+\left(21x-168\right)$$

Klammern Sie 2x in der ersten und 21 in der zweiten Gruppe aus.

$$2x\left(x-8\right)+21\left(x-8\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term x-8 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(x-8\right)\left(2x+21\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie x-8=0 und 2x+21=0.

$$x=8 x=-\frac{21}{2}$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$2x^{2}+5x-168=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 2, b durch 5 und c durch -168, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\times 2\left(-168\right)}}{2\times 2}$$

5 zum Quadrat.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-4\times 2\left(-168\right)}}{2\times 2}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 2.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-8\left(-168\right)}}{2\times 2}$$

Multiplizieren Sie -8 mit -168.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25+1344}}{2\times 2}$$

Addieren Sie 25 zu 1344.

$$x=\frac{-5±\sqrt{1369}}{2\times 2}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 1369.

$$x=\frac{-5±37}{2\times 2}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 2.

$$x=\frac{-5±37}{4}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-5±37}{4}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -5 zu 37.

$$x=\frac{32}{4}$$

Dividieren Sie 32 durch 4.

$$x=8$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-5±37}{4}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 37 von -5.

$$x=-\frac{42}{4}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{-42}{4} um den niedrigsten Term, indem Sie 2 extrahieren und aufheben.

$$x=-\frac{21}{2}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=8 x=-\frac{21}{2}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$2x^{2}+5x-168=0$$

Addieren Sie 168 zu beiden Seiten der Gleichung.

$$2x^{2}+5x-168-\left(-168\right)=-\left(-168\right)$$

Die Subtraktion von -168 von sich selbst ergibt 0.

$$2x^{2}+5x=-\left(-168\right)$$

Subtrahieren Sie -168 von 0.

$$2x^{2}+5x=168$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 2.

$$\frac{2x^{2}+5x}{2}=\frac{168}{2}$$

Division durch 2 macht die Multiplikation mit 2 rückgängig.

$$x^{2}+\frac{5}{2}x=\frac{168}{2}$$

Dividieren Sie 168 durch 2.

$$x^{2}+\frac{5}{2}x=84$$

Dividieren Sie \frac{5}{2}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um \frac{5}{4} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von \frac{5}{4} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}+\frac{5}{2}x+\left(\frac{5}{4}\right)^{2}=84+\left(\frac{5}{4}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von \frac{5}{4}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}+\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}=84+\frac{25}{16}$$

Addieren Sie 84 zu \frac{25}{16}.

$$x^{2}+\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}=\frac{1369}{16}$$

Faktor x^{2}+\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x+\frac{5}{4}\right)^{2}=\frac{1369}{16}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1369}{16}}$$

Vereinfachen.

$$x+\frac{5}{4}=\frac{37}{4} x+\frac{5}{4}=-\frac{37}{4}$$

\frac{5}{4} von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$x=8 x=-\frac{21}{2}$$