2x^2+5x+3=20 lösen

$$2 { x }^{ 2 } +5x+3=20$$

Nach x auflösen

$$x = \frac{\sqrt{161} - 5}{4} \approx 1,922144385$$

$$x=\frac{-\sqrt{161}-5}{4}\approx -4,422144385$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$2x^{2}+5x+3=20$$

20 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$2x^{2}+5x+3-20=20-20$$

Die Subtraktion von 20 von sich selbst ergibt 0.

$$2x^{2}+5x+3-20=0$$

Subtrahieren Sie 20 von 3.

$$2x^{2}+5x-17=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 2, b durch 5 und c durch -17, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\times 2\left(-17\right)}}{2\times 2}$$

5 zum Quadrat.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-4\times 2\left(-17\right)}}{2\times 2}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 2.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-8\left(-17\right)}}{2\times 2}$$

Multiplizieren Sie -8 mit -17.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25+136}}{2\times 2}$$

Addieren Sie 25 zu 136.

$$x=\frac{-5±\sqrt{161}}{2\times 2}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 2.

$$x=\frac{-5±\sqrt{161}}{4}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-5±\sqrt{161}}{4}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -5 zu \sqrt{161}.

$$x=\frac{\sqrt{161}-5}{4}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-5±\sqrt{161}}{4}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie \sqrt{161} von -5.

$$x=\frac{-\sqrt{161}-5}{4}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=\frac{\sqrt{161}-5}{4} x=\frac{-\sqrt{161}-5}{4}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$2x^{2}+5x+3=20$$

3 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$2x^{2}+5x+3-3=20-3$$

Die Subtraktion von 3 von sich selbst ergibt 0.

$$2x^{2}+5x=20-3$$

Subtrahieren Sie 3 von 20.

$$2x^{2}+5x=17$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 2.

$$\frac{2x^{2}+5x}{2}=\frac{17}{2}$$

Division durch 2 macht die Multiplikation mit 2 rückgängig.

$$x^{2}+\frac{5}{2}x=\frac{17}{2}$$

Dividieren Sie \frac{5}{2}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um \frac{5}{4} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von \frac{5}{4} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}+\frac{5}{2}x+\left(\frac{5}{4}\right)^{2}=\frac{17}{2}+\left(\frac{5}{4}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von \frac{5}{4}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}+\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}=\frac{17}{2}+\frac{25}{16}$$

Addieren Sie \frac{17}{2} zu \frac{25}{16}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$x^{2}+\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}=\frac{161}{16}$$

Faktor x^{2}+\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x+\frac{5}{4}\right)^{2}=\frac{161}{16}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{161}{16}}$$

Vereinfachen.

$$x+\frac{5}{4}=\frac{\sqrt{161}}{4} x+\frac{5}{4}=-\frac{\sqrt{161}}{4}$$

\frac{5}{4} von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$x=\frac{\sqrt{161}-5}{4} x=\frac{-\sqrt{161}-5}{4}$$