2x^2+13x-24=0 lösen

$$2 { x }^{ 2 } +13x-24=0$$

Nach x auflösen

$$x=-8$$

$$x = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1,5$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung mittels Gruppierung

Um die Gleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite durch Gruppieren. Zuerst muss die linke Seite als 2x^{2}+ax+bx-24 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=13 ab=2\left(-24\right)=-48$$

Weil ab negativ ist, haben a und b entgegengesetzte Vorzeichen. Weil a+b positiv ist, hat die positive Zahl einen größeren Absolutwert als die negative. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt -48 ergeben.

$$-1,48 -2,24 -3,16 -4,12 -6,8$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$-1+48=47 -2+24=22 -3+16=13 -4+12=8 -6+8=2$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe 13 ergibt.

$$a=-3 b=16$$

2x^{2}+13x-24 als \left(2x^{2}-3x\right)+\left(16x-24\right) umschreiben.

$$\left(2x^{2}-3x\right)+\left(16x-24\right)$$

Klammern Sie x in der ersten und 8 in der zweiten Gruppe aus.

$$x\left(2x-3\right)+8\left(2x-3\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term 2x-3 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(2x-3\right)\left(x+8\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie 2x-3=0 und x+8=0.

$$x=\frac{3}{2} x=-8$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$2x^{2}+13x-24=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 2, b durch 13 und c durch -24, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-13±\sqrt{13^{2}-4\times 2\left(-24\right)}}{2\times 2}$$

13 zum Quadrat.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169-4\times 2\left(-24\right)}}{2\times 2}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 2.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169-8\left(-24\right)}}{2\times 2}$$

Multiplizieren Sie -8 mit -24.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169+192}}{2\times 2}$$

Addieren Sie 169 zu 192.

$$x=\frac{-13±\sqrt{361}}{2\times 2}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 361.

$$x=\frac{-13±19}{2\times 2}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 2.

$$x=\frac{-13±19}{4}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-13±19}{4}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -13 zu 19.

$$x=\frac{6}{4}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{6}{4} um den niedrigsten Term, indem Sie 2 extrahieren und aufheben.

$$x=\frac{3}{2}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-13±19}{4}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 19 von -13.

$$x=-\frac{32}{4}$$

Dividieren Sie -32 durch 4.

$$x=-8$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=\frac{3}{2} x=-8$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$2x^{2}+13x-24=0$$

Addieren Sie 24 zu beiden Seiten der Gleichung.

$$2x^{2}+13x-24-\left(-24\right)=-\left(-24\right)$$

Die Subtraktion von -24 von sich selbst ergibt 0.

$$2x^{2}+13x=-\left(-24\right)$$

Subtrahieren Sie -24 von 0.

$$2x^{2}+13x=24$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 2.

$$\frac{2x^{2}+13x}{2}=\frac{24}{2}$$

Division durch 2 macht die Multiplikation mit 2 rückgängig.

$$x^{2}+\frac{13}{2}x=\frac{24}{2}$$

Dividieren Sie 24 durch 2.

$$x^{2}+\frac{13}{2}x=12$$

Dividieren Sie \frac{13}{2}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um \frac{13}{4} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von \frac{13}{4} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}+\frac{13}{2}x+\left(\frac{13}{4}\right)^{2}=12+\left(\frac{13}{4}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von \frac{13}{4}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}+\frac{13}{2}x+\frac{169}{16}=12+\frac{169}{16}$$

Addieren Sie 12 zu \frac{169}{16}.

$$x^{2}+\frac{13}{2}x+\frac{169}{16}=\frac{361}{16}$$

Faktor x^{2}+\frac{13}{2}x+\frac{169}{16}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x+\frac{13}{4}\right)^{2}=\frac{361}{16}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x+\frac{13}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{361}{16}}$$

Vereinfachen.

$$x+\frac{13}{4}=\frac{19}{4} x+\frac{13}{4}=-\frac{19}{4}$$

\frac{13}{4} von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$x=\frac{3}{2} x=-8$$