19x^2-15x+45=0 lösen

$$19 x ^ { 2 } - 15 x + 45 = 0$$

Nach x auflösen (komplexe Lösung)

$$x=\frac{15+3\sqrt{355}i}{38}\approx 0,394736842+1,487482396i$$

$$x=\frac{-3\sqrt{355}i+15}{38}\approx 0,394736842-1,487482396i$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$19x^{2}-15x+45=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 19, b durch -15 und c durch 45, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{\left(-15\right)^{2}-4\times 19\times 45}}{2\times 19}$$

-15 zum Quadrat.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-4\times 19\times 45}}{2\times 19}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 19.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-76\times 45}}{2\times 19}$$

Multiplizieren Sie -76 mit 45.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-3420}}{2\times 19}$$

Addieren Sie 225 zu -3420.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{-3195}}{2\times 19}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus -3195.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±3\sqrt{355}i}{2\times 19}$$

Das Gegenteil von -15 ist 15.

$$x=\frac{15±3\sqrt{355}i}{2\times 19}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 19.

$$x=\frac{15±3\sqrt{355}i}{38}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{15±3\sqrt{355}i}{38}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 15 zu 3i\sqrt{355}.

$$x=\frac{15+3\sqrt{355}i}{38}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{15±3\sqrt{355}i}{38}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 3i\sqrt{355} von 15.

$$x=\frac{-3\sqrt{355}i+15}{38}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=\frac{15+3\sqrt{355}i}{38} x=\frac{-3\sqrt{355}i+15}{38}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$19x^{2}-15x+45=0$$

45 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$19x^{2}-15x+45-45=-45$$

Die Subtraktion von 45 von sich selbst ergibt 0.

$$19x^{2}-15x=-45$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 19.

$$\frac{19x^{2}-15x}{19}=-\frac{45}{19}$$

Division durch 19 macht die Multiplikation mit 19 rückgängig.

$$x^{2}-\frac{15}{19}x=-\frac{45}{19}$$

Dividieren Sie -\frac{15}{19}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -\frac{15}{38} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -\frac{15}{38} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}-\frac{15}{19}x+\left(-\frac{15}{38}\right)^{2}=-\frac{45}{19}+\left(-\frac{15}{38}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von -\frac{15}{38}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}-\frac{15}{19}x+\frac{225}{1444}=-\frac{45}{19}+\frac{225}{1444}$$

Addieren Sie -\frac{45}{19} zu \frac{225}{1444}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$x^{2}-\frac{15}{19}x+\frac{225}{1444}=-\frac{3195}{1444}$$

Faktor x^{2}-\frac{15}{19}x+\frac{225}{1444}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x-\frac{15}{38}\right)^{2}=-\frac{3195}{1444}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x-\frac{15}{38}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{3195}{1444}}$$

Vereinfachen.

$$x-\frac{15}{38}=\frac{3\sqrt{355}i}{38} x-\frac{15}{38}=-\frac{3\sqrt{355}i}{38}$$

Addieren Sie \frac{15}{38} zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x=\frac{15+3\sqrt{355}i}{38} x=\frac{-3\sqrt{355}i+15}{38}$$