19x^2-14x+4122=0 lösen

$$19 x ^ { 2 } - 14 x + 4122 = 0$$

Nach x auflösen (komplexe Lösung)

$$x=\frac{7+\sqrt{78269}i}{19}\approx 0,368421053+14,724524928i$$

$$x=\frac{-\sqrt{78269}i+7}{19}\approx 0,368421053-14,724524928i$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$19x^{2}-14x+4122=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 19, b durch -14 und c durch 4122, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{\left(-14\right)^{2}-4\times 19\times 4122}}{2\times 19}$$

-14 zum Quadrat.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-4\times 19\times 4122}}{2\times 19}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 19.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-76\times 4122}}{2\times 19}$$

Multiplizieren Sie -76 mit 4122.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-313272}}{2\times 19}$$

Addieren Sie 196 zu -313272.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{-313076}}{2\times 19}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus -313076.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±2\sqrt{78269}i}{2\times 19}$$

Das Gegenteil von -14 ist 14.

$$x=\frac{14±2\sqrt{78269}i}{2\times 19}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 19.

$$x=\frac{14±2\sqrt{78269}i}{38}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{14±2\sqrt{78269}i}{38}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 14 zu 2i\sqrt{78269}.

$$x=\frac{14+2\sqrt{78269}i}{38}$$

Dividieren Sie 14+2i\sqrt{78269} durch 38.

$$x=\frac{7+\sqrt{78269}i}{19}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{14±2\sqrt{78269}i}{38}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 2i\sqrt{78269} von 14.

$$x=\frac{-2\sqrt{78269}i+14}{38}$$

Dividieren Sie 14-2i\sqrt{78269} durch 38.

$$x=\frac{-\sqrt{78269}i+7}{19}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=\frac{7+\sqrt{78269}i}{19} x=\frac{-\sqrt{78269}i+7}{19}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$19x^{2}-14x+4122=0$$

4122 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$19x^{2}-14x+4122-4122=-4122$$

Die Subtraktion von 4122 von sich selbst ergibt 0.

$$19x^{2}-14x=-4122$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 19.

$$\frac{19x^{2}-14x}{19}=-\frac{4122}{19}$$

Division durch 19 macht die Multiplikation mit 19 rückgängig.

$$x^{2}-\frac{14}{19}x=-\frac{4122}{19}$$

Dividieren Sie -\frac{14}{19}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -\frac{7}{19} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -\frac{7}{19} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}-\frac{14}{19}x+\left(-\frac{7}{19}\right)^{2}=-\frac{4122}{19}+\left(-\frac{7}{19}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von -\frac{7}{19}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}-\frac{14}{19}x+\frac{49}{361}=-\frac{4122}{19}+\frac{49}{361}$$

Addieren Sie -\frac{4122}{19} zu \frac{49}{361}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$x^{2}-\frac{14}{19}x+\frac{49}{361}=-\frac{78269}{361}$$

Faktor x^{2}-\frac{14}{19}x+\frac{49}{361}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x-\frac{7}{19}\right)^{2}=-\frac{78269}{361}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{19}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{78269}{361}}$$

Vereinfachen.

$$x-\frac{7}{19}=\frac{\sqrt{78269}i}{19} x-\frac{7}{19}=-\frac{\sqrt{78269}i}{19}$$

Addieren Sie \frac{7}{19} zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x=\frac{7+\sqrt{78269}i}{19} x=\frac{-\sqrt{78269}i+7}{19}$$