18x^2-120x-42 lösen

$$18 x ^ { 2 } - 120 x - 42$$

Faktorisieren

$$6\left(x-7\right)\left(3x+1\right)$$

Lösungsschritte

Klammern Sie 6 aus.

$$6\left(3x^{2}-20x-7\right)$$

Betrachten Sie 3x^{2}-20x-7. Faktorisieren Sie den Ausdruck durch Gruppieren. Zuerst muss der Ausdruck als 3x^{2}+ax+bx-7 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=-20 ab=3\left(-7\right)=-21$$

Weil ab negativ ist, haben a und b entgegengesetzte Vorzeichen. Weil a+b negativ ist, hat die negative Zahl einen größeren Absolutwert als die positive. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt -21 ergeben.

$$1,-21 3,-7$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$1-21=-20 3-7=-4$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe -20 ergibt.

$$a=-21 b=1$$

3x^{2}-20x-7 als \left(3x^{2}-21x\right)+\left(x-7\right) umschreiben.

$$\left(3x^{2}-21x\right)+\left(x-7\right)$$

Klammern Sie 3x in 3x^{2}-21x aus.

$$3x\left(x-7\right)+x-7$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term x-7 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(x-7\right)\left(3x+1\right)$$

Schreiben Sie den vollständigen, faktorisierten Ausdruck um.

$$6\left(x-7\right)\left(3x+1\right)$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Ein quadratisches Polynom kann mithilfe der Transformation ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) faktorisiert werden, wobei x_{1} und x_{2} die Lösungen der quadratischen Gleichung ax^{2}+bx+c=0 sind.

$$18x^{2}-120x-42=0$$

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$x=\frac{-\left(-120\right)±\sqrt{\left(-120\right)^{2}-4\times 18\left(-42\right)}}{2\times 18}$$

-120 zum Quadrat.

$$x=\frac{-\left(-120\right)±\sqrt{14400-4\times 18\left(-42\right)}}{2\times 18}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 18.

$$x=\frac{-\left(-120\right)±\sqrt{14400-72\left(-42\right)}}{2\times 18}$$

Multiplizieren Sie -72 mit -42.

$$x=\frac{-\left(-120\right)±\sqrt{14400+3024}}{2\times 18}$$

Addieren Sie 14400 zu 3024.

$$x=\frac{-\left(-120\right)±\sqrt{17424}}{2\times 18}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 17424.

$$x=\frac{-\left(-120\right)±132}{2\times 18}$$

Das Gegenteil von -120 ist 120.

$$x=\frac{120±132}{2\times 18}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 18.

$$x=\frac{120±132}{36}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{120±132}{36}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 120 zu 132.

$$x=\frac{252}{36}$$

Dividieren Sie 252 durch 36.

$$x=7$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{120±132}{36}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 132 von 120.

$$x=-\frac{12}{36}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{-12}{36} um den niedrigsten Term, indem Sie 12 extrahieren und aufheben.

$$x=-\frac{1}{3}$$

Den ursprünglichen Ausdruck mithilfe von ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) faktorisieren. Setzen Sie für x_{1} 7 und für x_{2} -\frac{1}{3} ein.

$$18x^{2}-120x-42=18\left(x-7\right)\left(x-\left(-\frac{1}{3}\right)\right)$$

Alle Ausdrücke der Form p-\left(-q\right) zu p+q vereinfachen.

$$18x^{2}-120x-42=18\left(x-7\right)\left(x+\frac{1}{3}\right)$$

Addieren Sie \frac{1}{3} zu x, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$18x^{2}-120x-42=18\left(x-7\right)\times \frac{3x+1}{3}$$

Den größten gemeinsamen Faktor 3 in 18 und 3 aufheben.

$$18x^{2}-120x-42=6\left(x-7\right)\left(3x+1\right)$$

Auswerten

$$6\left(x-7\right)\left(3x+1\right)$$