18x^2-9x-5=0 lösen

$$18 { x }^{ 2 } -9x-5 = 0$$

Nach x auflösen

$$x=-\frac{1}{3}\approx -0.333333333$$

$$x=\frac{5}{6}\approx 0.833333333$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung mittels Gruppierung

Um die Gleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite durch Gruppieren. Zuerst muss die linke Seite als 18x^{2}+ax+bx-5 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=-9 ab=18\left(-5\right)=-90$$

Weil ab negativ ist, haben a und b entgegengesetzte Vorzeichen. Weil a+b negativ ist, hat die negative Zahl einen größeren Absolutwert als die positive. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt -90 ergeben.

$$1,-90 2,-45 3,-30 5,-18 6,-15 9,-10$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$1-90=-89 2-45=-43 3-30=-27 5-18=-13 6-15=-9 9-10=-1$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe -9 ergibt.

$$a=-15 b=6$$

18x^{2}-9x-5 als \left(18x^{2}-15x\right)+\left(6x-5\right) umschreiben.

$$\left(18x^{2}-15x\right)+\left(6x-5\right)$$

Klammern Sie 3x in 18x^{2}-15x aus.

$$3x\left(6x-5\right)+6x-5$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term 6x-5 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(6x-5\right)\left(3x+1\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie 6x-5=0 und 3x+1=0.

$$x=\frac{5}{6} x=-\frac{1}{3}$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$18x^{2}-9x-5=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 18, b durch -9 und c durch -5, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{\left(-9\right)^{2}-4\times 18\left(-5\right)}}{2\times 18}$$

-9 zum Quadrat.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-4\times 18\left(-5\right)}}{2\times 18}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 18.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-72\left(-5\right)}}{2\times 18}$$

Multiplizieren Sie -72 mit -5.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81+360}}{2\times 18}$$

Addieren Sie 81 zu 360.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{441}}{2\times 18}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 441.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±21}{2\times 18}$$

Das Gegenteil von -9 ist 9.

$$x=\frac{9±21}{2\times 18}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 18.

$$x=\frac{9±21}{36}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{9±21}{36}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 9 zu 21.

$$x=\frac{30}{36}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{30}{36} um den niedrigsten Term, indem Sie 6 extrahieren und aufheben.

$$x=\frac{5}{6}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{9±21}{36}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 21 von 9.

$$x=-\frac{12}{36}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{-12}{36} um den niedrigsten Term, indem Sie 12 extrahieren und aufheben.

$$x=-\frac{1}{3}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=\frac{5}{6} x=-\frac{1}{3}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$18x^{2}-9x-5=0$$

Addieren Sie 5 zu beiden Seiten der Gleichung.

$$18x^{2}-9x-5-\left(-5\right)=-\left(-5\right)$$

Die Subtraktion von -5 von sich selbst ergibt 0.

$$18x^{2}-9x=-\left(-5\right)$$

Subtrahieren Sie -5 von 0.

$$18x^{2}-9x=5$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 18.

$$\frac{18x^{2}-9x}{18}=\frac{5}{18}$$

Division durch 18 macht die Multiplikation mit 18 rückgängig.

$$x^{2}+\left(-\frac{9}{18}\right)x=\frac{5}{18}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{-9}{18} um den niedrigsten Term, indem Sie 9 extrahieren und aufheben.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x=\frac{5}{18}$$

Dividieren Sie -\frac{1}{2}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -\frac{1}{4} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -\frac{1}{4} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\left(-\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{5}{18}+\left(-\frac{1}{4}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von -\frac{1}{4}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{5}{18}+\frac{1}{16}$$

Addieren Sie \frac{5}{18} zu \frac{1}{16}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{49}{144}$$

Faktor x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}. Wenn es sich bei x^{2}+bx+c um ein perfektes Quadrat handelt, kann es immer in der Form von \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisiert werden.

$$\left(x-\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{49}{144}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{144}}$$

Vereinfachen.

$$x-\frac{1}{4}=\frac{7}{12} x-\frac{1}{4}=-\frac{7}{12}$$

Addieren Sie \frac{1}{4} zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x=\frac{5}{6} x=-\frac{1}{3}$$