18x^2-27x+4=0 lösen

$$18 { x }^{ 2 } -27x+4=0$$

Nach x auflösen

$$x=\frac{1}{6}\approx 0,166666667$$

$$x = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3} \approx 1,333333333$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung mittels Gruppierung

Um die Gleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite durch Gruppieren. Zuerst muss die linke Seite als 18x^{2}+ax+bx+4 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=-27 ab=18\times 4=72$$

Weil ab positiv ist, haben a und b dasselbe Vorzeichen. Weil a+b negativ ist, sind a und b beide negativ. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt 72 ergeben.

$$-1,-72 -2,-36 -3,-24 -4,-18 -6,-12 -8,-9$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$-1-72=-73 -2-36=-38 -3-24=-27 -4-18=-22 -6-12=-18 -8-9=-17$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe -27 ergibt.

$$a=-24 b=-3$$

18x^{2}-27x+4 als \left(18x^{2}-24x\right)+\left(-3x+4\right) umschreiben.

$$\left(18x^{2}-24x\right)+\left(-3x+4\right)$$

Klammern Sie 6x in der ersten und -1 in der zweiten Gruppe aus.

$$6x\left(3x-4\right)-\left(3x-4\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term 3x-4 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(3x-4\right)\left(6x-1\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie 3x-4=0 und 6x-1=0.

$$x=\frac{4}{3} x=\frac{1}{6}$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$18x^{2}-27x+4=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 18, b durch -27 und c durch 4, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-27\right)±\sqrt{\left(-27\right)^{2}-4\times 18\times 4}}{2\times 18}$$

-27 zum Quadrat.

$$x=\frac{-\left(-27\right)±\sqrt{729-4\times 18\times 4}}{2\times 18}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 18.

$$x=\frac{-\left(-27\right)±\sqrt{729-72\times 4}}{2\times 18}$$

Multiplizieren Sie -72 mit 4.

$$x=\frac{-\left(-27\right)±\sqrt{729-288}}{2\times 18}$$

Addieren Sie 729 zu -288.

$$x=\frac{-\left(-27\right)±\sqrt{441}}{2\times 18}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 441.

$$x=\frac{-\left(-27\right)±21}{2\times 18}$$

Das Gegenteil von -27 ist 27.

$$x=\frac{27±21}{2\times 18}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 18.

$$x=\frac{27±21}{36}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{27±21}{36}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 27 zu 21.

$$x=\frac{48}{36}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{48}{36} um den niedrigsten Term, indem Sie 12 extrahieren und aufheben.

$$x=\frac{4}{3}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{27±21}{36}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 21 von 27.

$$x=\frac{6}{36}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{6}{36} um den niedrigsten Term, indem Sie 6 extrahieren und aufheben.

$$x=\frac{1}{6}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=\frac{4}{3} x=\frac{1}{6}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$18x^{2}-27x+4=0$$

4 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$18x^{2}-27x+4-4=-4$$

Die Subtraktion von 4 von sich selbst ergibt 0.

$$18x^{2}-27x=-4$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 18.

$$\frac{18x^{2}-27x}{18}=-\frac{4}{18}$$

Division durch 18 macht die Multiplikation mit 18 rückgängig.

$$x^{2}+\left(-\frac{27}{18}\right)x=-\frac{4}{18}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{-27}{18} um den niedrigsten Term, indem Sie 9 extrahieren und aufheben.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x=-\frac{4}{18}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{-4}{18} um den niedrigsten Term, indem Sie 2 extrahieren und aufheben.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x=-\frac{2}{9}$$

Dividieren Sie -\frac{3}{2}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -\frac{3}{4} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -\frac{3}{4} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\left(-\frac{3}{4}\right)^{2}=-\frac{2}{9}+\left(-\frac{3}{4}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von -\frac{3}{4}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=-\frac{2}{9}+\frac{9}{16}$$

Addieren Sie -\frac{2}{9} zu \frac{9}{16}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=\frac{49}{144}$$

Faktor x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x-\frac{3}{4}\right)^{2}=\frac{49}{144}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{144}}$$

Vereinfachen.

$$x-\frac{3}{4}=\frac{7}{12} x-\frac{3}{4}=-\frac{7}{12}$$

Addieren Sie \frac{3}{4} zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x=\frac{4}{3} x=\frac{1}{6}$$