174+4x^2+5x=0 lösen

$$174+4 { x }^{ 2 } +5x = 0$$

Nach x auflösen (komplexe Lösung)

$$x=\frac{-5+\sqrt{2759}i}{8}\approx -0,625+6,565772993i$$

$$x=\frac{-\sqrt{2759}i-5}{8}\approx -0,625-6,565772993i$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$4x^{2}+5x+174=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 4, b durch 5 und c durch 174, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\times 4\times 174}}{2\times 4}$$

5 zum Quadrat.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-4\times 4\times 174}}{2\times 4}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 4.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-16\times 174}}{2\times 4}$$

Multiplizieren Sie -16 mit 174.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-2784}}{2\times 4}$$

Addieren Sie 25 zu -2784.

$$x=\frac{-5±\sqrt{-2759}}{2\times 4}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus -2759.

$$x=\frac{-5±\sqrt{2759}i}{2\times 4}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 4.

$$x=\frac{-5±\sqrt{2759}i}{8}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-5±\sqrt{2759}i}{8}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -5 zu i\sqrt{2759}.

$$x=\frac{-5+\sqrt{2759}i}{8}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-5±\sqrt{2759}i}{8}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie i\sqrt{2759} von -5.

$$x=\frac{-\sqrt{2759}i-5}{8}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=\frac{-5+\sqrt{2759}i}{8} x=\frac{-\sqrt{2759}i-5}{8}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$4x^{2}+5x+174=0$$

174 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$4x^{2}+5x+174-174=-174$$

Die Subtraktion von 174 von sich selbst ergibt 0.

$$4x^{2}+5x=-174$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 4.

$$\frac{4x^{2}+5x}{4}=-\frac{174}{4}$$

Division durch 4 macht die Multiplikation mit 4 rückgängig.

$$x^{2}+\frac{5}{4}x=-\frac{174}{4}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{-174}{4} um den niedrigsten Term, indem Sie 2 extrahieren und aufheben.

$$x^{2}+\frac{5}{4}x=-\frac{87}{2}$$

Dividieren Sie \frac{5}{4}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um \frac{5}{8} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von \frac{5}{8} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}+\frac{5}{4}x+\left(\frac{5}{8}\right)^{2}=-\frac{87}{2}+\left(\frac{5}{8}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von \frac{5}{8}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}+\frac{5}{4}x+\frac{25}{64}=-\frac{87}{2}+\frac{25}{64}$$

Addieren Sie -\frac{87}{2} zu \frac{25}{64}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$x^{2}+\frac{5}{4}x+\frac{25}{64}=-\frac{2759}{64}$$

Faktor x^{2}+\frac{5}{4}x+\frac{25}{64}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x+\frac{5}{8}\right)^{2}=-\frac{2759}{64}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{8}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{2759}{64}}$$

Vereinfachen.

$$x+\frac{5}{8}=\frac{\sqrt{2759}i}{8} x+\frac{5}{8}=-\frac{\sqrt{2759}i}{8}$$

\frac{5}{8} von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$x=\frac{-5+\sqrt{2759}i}{8} x=\frac{-\sqrt{2759}i-5}{8}$$