16+x^2+left(4-xright)^2+16={left(4sqrt{5}right)}^2 lösen

$$16+ { x }^{ 2 } + { \left(4-x \right) }^{ 2 } +16= { \left(4 \sqrt{ 5 } \right) }^{ 2 }$$

Nach x auflösen

$$x=2\sqrt{5}+2\approx 6,472135955$$

$$x=2-2\sqrt{5}\approx -2,472135955$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

\left(4-x\right)^{2} mit dem binomischen Lehrsatz "\left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}" erweitern.

$$16+x^{2}+16-8x+x^{2}+16=\left(4\sqrt{5}\right)^{2}$$

Addieren Sie 16 und 16, um 32 zu erhalten.

$$32+x^{2}-8x+x^{2}+16=\left(4\sqrt{5}\right)^{2}$$

Kombinieren Sie x^{2} und x^{2}, um 2x^{2} zu erhalten.

$$32+2x^{2}-8x+16=\left(4\sqrt{5}\right)^{2}$$

Addieren Sie 32 und 16, um 48 zu erhalten.

$$48+2x^{2}-8x=\left(4\sqrt{5}\right)^{2}$$

Erweitern Sie \left(4\sqrt{5}\right)^{2}.

$$48+2x^{2}-8x=4^{2}\left(\sqrt{5}\right)^{2}$$

Potenzieren Sie 4 mit 2, und erhalten Sie 16.

$$48+2x^{2}-8x=16\left(\sqrt{5}\right)^{2}$$

Das Quadrat von \sqrt{5} ist 5.

$$48+2x^{2}-8x=16\times 5$$

Multiplizieren Sie 16 und 5, um 80 zu erhalten.

$$48+2x^{2}-8x=80$$

Subtrahieren Sie 80 von beiden Seiten.

$$48+2x^{2}-8x-80=0$$

Subtrahieren Sie 80 von 48, um -32 zu erhalten.

$$-32+2x^{2}-8x=0$$

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$2x^{2}-8x-32=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 2, b durch -8 und c durch -32, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{\left(-8\right)^{2}-4\times 2\left(-32\right)}}{2\times 2}$$

-8 zum Quadrat.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-4\times 2\left(-32\right)}}{2\times 2}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 2.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-8\left(-32\right)}}{2\times 2}$$

Multiplizieren Sie -8 mit -32.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64+256}}{2\times 2}$$

Addieren Sie 64 zu 256.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{320}}{2\times 2}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 320.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±8\sqrt{5}}{2\times 2}$$

Das Gegenteil von -8 ist 8.

$$x=\frac{8±8\sqrt{5}}{2\times 2}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 2.

$$x=\frac{8±8\sqrt{5}}{4}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{8±8\sqrt{5}}{4}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 8 zu 8\sqrt{5}.

$$x=\frac{8\sqrt{5}+8}{4}$$

Dividieren Sie 8+8\sqrt{5} durch 4.

$$x=2\sqrt{5}+2$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{8±8\sqrt{5}}{4}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 8\sqrt{5} von 8.

$$x=\frac{8-8\sqrt{5}}{4}$$

Dividieren Sie 8-8\sqrt{5} durch 4.

$$x=2-2\sqrt{5}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=2\sqrt{5}+2 x=2-2\sqrt{5}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

\left(4-x\right)^{2} mit dem binomischen Lehrsatz "\left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}" erweitern.

$$16+x^{2}+16-8x+x^{2}+16=\left(4\sqrt{5}\right)^{2}$$

Addieren Sie 16 und 16, um 32 zu erhalten.

$$32+x^{2}-8x+x^{2}+16=\left(4\sqrt{5}\right)^{2}$$

Kombinieren Sie x^{2} und x^{2}, um 2x^{2} zu erhalten.

$$32+2x^{2}-8x+16=\left(4\sqrt{5}\right)^{2}$$

Addieren Sie 32 und 16, um 48 zu erhalten.

$$48+2x^{2}-8x=\left(4\sqrt{5}\right)^{2}$$

Erweitern Sie \left(4\sqrt{5}\right)^{2}.

$$48+2x^{2}-8x=4^{2}\left(\sqrt{5}\right)^{2}$$

Potenzieren Sie 4 mit 2, und erhalten Sie 16.

$$48+2x^{2}-8x=16\left(\sqrt{5}\right)^{2}$$

Das Quadrat von \sqrt{5} ist 5.

$$48+2x^{2}-8x=16\times 5$$

Multiplizieren Sie 16 und 5, um 80 zu erhalten.

$$48+2x^{2}-8x=80$$

Subtrahieren Sie 48 von beiden Seiten.

$$2x^{2}-8x=80-48$$

Subtrahieren Sie 48 von 80, um 32 zu erhalten.

$$2x^{2}-8x=32$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 2.

$$\frac{2x^{2}-8x}{2}=\frac{32}{2}$$

Division durch 2 macht die Multiplikation mit 2 rückgängig.

$$x^{2}+\left(-\frac{8}{2}\right)x=\frac{32}{2}$$

Dividieren Sie -8 durch 2.

$$x^{2}-4x=\frac{32}{2}$$

Dividieren Sie 32 durch 2.

$$x^{2}-4x=16$$

Dividieren Sie -4, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -2 zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -2 zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}-4x+\left(-2\right)^{2}=16+\left(-2\right)^{2}$$

-2 zum Quadrat.

$$x^{2}-4x+4=16+4$$

Addieren Sie 16 zu 4.

$$x^{2}-4x+4=20$$

Faktor x^{2}-4x+4. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x-2\right)^{2}=20$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x-2\right)^{2}}=\sqrt{20}$$

Vereinfachen.

$$x-2=2\sqrt{5} x-2=-2\sqrt{5}$$

Addieren Sie 2 zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x=2\sqrt{5}+2 x=2-2\sqrt{5}$$