16x^2-64x+65=0 lösen

$$16 x ^ { 2 } - 64 x + 65 = 0$$

Nach x auflösen (komplexe Lösung)

$$x=2+\frac{1}{4}i=2+0,25i$$

$$x=2-\frac{1}{4}i=2-0,25i$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$16x^{2}-64x+65=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 16, b durch -64 und c durch 65, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-64\right)±\sqrt{\left(-64\right)^{2}-4\times 16\times 65}}{2\times 16}$$

-64 zum Quadrat.

$$x=\frac{-\left(-64\right)±\sqrt{4096-4\times 16\times 65}}{2\times 16}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 16.

$$x=\frac{-\left(-64\right)±\sqrt{4096-64\times 65}}{2\times 16}$$

Multiplizieren Sie -64 mit 65.

$$x=\frac{-\left(-64\right)±\sqrt{4096-4160}}{2\times 16}$$

Addieren Sie 4096 zu -4160.

$$x=\frac{-\left(-64\right)±\sqrt{-64}}{2\times 16}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus -64.

$$x=\frac{-\left(-64\right)±8i}{2\times 16}$$

Das Gegenteil von -64 ist 64.

$$x=\frac{64±8i}{2\times 16}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 16.

$$x=\frac{64±8i}{32}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{64±8i}{32}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 64 zu 8i.

$$x=\frac{64+8i}{32}$$

Dividieren Sie 64+8i durch 32.

$$x=2+\frac{1}{4}i$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{64±8i}{32}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 8i von 64.

$$x=\frac{64-8i}{32}$$

Dividieren Sie 64-8i durch 32.

$$x=2-\frac{1}{4}i$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=2+\frac{1}{4}i x=2-\frac{1}{4}i$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$16x^{2}-64x+65=0$$

65 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$16x^{2}-64x+65-65=-65$$

Die Subtraktion von 65 von sich selbst ergibt 0.

$$16x^{2}-64x=-65$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 16.

$$\frac{16x^{2}-64x}{16}=-\frac{65}{16}$$

Division durch 16 macht die Multiplikation mit 16 rückgängig.

$$x^{2}+\left(-\frac{64}{16}\right)x=-\frac{65}{16}$$

Dividieren Sie -64 durch 16.

$$x^{2}-4x=-\frac{65}{16}$$

Dividieren Sie -4, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -2 zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -2 zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}-4x+\left(-2\right)^{2}=-\frac{65}{16}+\left(-2\right)^{2}$$

-2 zum Quadrat.

$$x^{2}-4x+4=-\frac{65}{16}+4$$

Addieren Sie -\frac{65}{16} zu 4.

$$x^{2}-4x+4=-\frac{1}{16}$$

Faktor x^{2}-4x+4. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x-2\right)^{2}=-\frac{1}{16}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x-2\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{1}{16}}$$

Vereinfachen.

$$x-2=\frac{1}{4}i x-2=-\frac{1}{4}i$$

Addieren Sie 2 zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x=2+\frac{1}{4}i x=2-\frac{1}{4}i$$