16x^2=40x-9 lösen

$$16 x ^ { 2 } = 40 x - 9$$

Nach x auflösen

$$x=\frac{1}{4}=0,25$$

$$x = \frac{9}{4} = 2\frac{1}{4} = 2,25$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung mittels Gruppierung

Subtrahieren Sie 40x von beiden Seiten.

$$16x^{2}-40x=-9$$

Auf beiden Seiten 9 addieren.

$$16x^{2}-40x+9=0$$

Um die Gleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite durch Gruppieren. Zuerst muss die linke Seite als 16x^{2}+ax+bx+9 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=-40 ab=16\times 9=144$$

Weil ab positiv ist, haben a und b dasselbe Vorzeichen. Weil a+b negativ ist, sind a und b beide negativ. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt 144 ergeben.

$$-1,-144 -2,-72 -3,-48 -4,-36 -6,-24 -8,-18 -9,-16 -12,-12$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$-1-144=-145 -2-72=-74 -3-48=-51 -4-36=-40 -6-24=-30 -8-18=-26 -9-16=-25 -12-12=-24$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe -40 ergibt.

$$a=-36 b=-4$$

16x^{2}-40x+9 als \left(16x^{2}-36x\right)+\left(-4x+9\right) umschreiben.

$$\left(16x^{2}-36x\right)+\left(-4x+9\right)$$

Klammern Sie 4x in der ersten und -1 in der zweiten Gruppe aus.

$$4x\left(4x-9\right)-\left(4x-9\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term 4x-9 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(4x-9\right)\left(4x-1\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie 4x-9=0 und 4x-1=0.

$$x=\frac{9}{4} x=\frac{1}{4}$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Subtrahieren Sie 40x von beiden Seiten.

$$16x^{2}-40x=-9$$

Auf beiden Seiten 9 addieren.

$$16x^{2}-40x+9=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 16, b durch -40 und c durch 9, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{\left(-40\right)^{2}-4\times 16\times 9}}{2\times 16}$$

-40 zum Quadrat.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{1600-4\times 16\times 9}}{2\times 16}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 16.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{1600-64\times 9}}{2\times 16}$$

Multiplizieren Sie -64 mit 9.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{1600-576}}{2\times 16}$$

Addieren Sie 1600 zu -576.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{1024}}{2\times 16}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 1024.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±32}{2\times 16}$$

Das Gegenteil von -40 ist 40.

$$x=\frac{40±32}{2\times 16}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 16.

$$x=\frac{40±32}{32}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{40±32}{32}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 40 zu 32.

$$x=\frac{72}{32}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{72}{32} um den niedrigsten Term, indem Sie 8 extrahieren und aufheben.

$$x=\frac{9}{4}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{40±32}{32}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 32 von 40.

$$x=\frac{8}{32}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{8}{32} um den niedrigsten Term, indem Sie 8 extrahieren und aufheben.

$$x=\frac{1}{4}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=\frac{9}{4} x=\frac{1}{4}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Subtrahieren Sie 40x von beiden Seiten.

$$16x^{2}-40x=-9$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 16.

$$\frac{16x^{2}-40x}{16}=-\frac{9}{16}$$

Division durch 16 macht die Multiplikation mit 16 rückgängig.

$$x^{2}+\left(-\frac{40}{16}\right)x=-\frac{9}{16}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{-40}{16} um den niedrigsten Term, indem Sie 8 extrahieren und aufheben.

$$x^{2}-\frac{5}{2}x=-\frac{9}{16}$$

Dividieren Sie -\frac{5}{2}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -\frac{5}{4} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -\frac{5}{4} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}-\frac{5}{2}x+\left(-\frac{5}{4}\right)^{2}=-\frac{9}{16}+\left(-\frac{5}{4}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von -\frac{5}{4}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}-\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}=\frac{-9+25}{16}$$

Addieren Sie -\frac{9}{16} zu \frac{25}{16}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$x^{2}-\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}=1$$

Faktor x^{2}-\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x-\frac{5}{4}\right)^{2}=1$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{4}\right)^{2}}=\sqrt{1}$$

Vereinfachen.

$$x-\frac{5}{4}=1 x-\frac{5}{4}=-1$$

Addieren Sie \frac{5}{4} zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x=\frac{9}{4} x=\frac{1}{4}$$