16x^2+10x-9=0 lösen

$$16 x ^ { 2 } + 10 x - 9 = 0$$

Nach x auflösen

$$x = -\frac{9}{8} = -1\frac{1}{8} = -1,125$$

$$x=\frac{1}{2}=0,5$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung mittels Gruppierung

Um die Gleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite durch Gruppieren. Zuerst muss die linke Seite als 16x^{2}+ax+bx-9 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=10 ab=16\left(-9\right)=-144$$

Weil ab negativ ist, haben a und b entgegengesetzte Vorzeichen. Weil a+b positiv ist, hat die positive Zahl einen größeren Absolutwert als die negative. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt -144 ergeben.

$$-1,144 -2,72 -3,48 -4,36 -6,24 -8,18 -9,16 -12,12$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$-1+144=143 -2+72=70 -3+48=45 -4+36=32 -6+24=18 -8+18=10 -9+16=7 -12+12=0$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe 10 ergibt.

$$a=-8 b=18$$

16x^{2}+10x-9 als \left(16x^{2}-8x\right)+\left(18x-9\right) umschreiben.

$$\left(16x^{2}-8x\right)+\left(18x-9\right)$$

Klammern Sie 8x in der ersten und 9 in der zweiten Gruppe aus.

$$8x\left(2x-1\right)+9\left(2x-1\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term 2x-1 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(2x-1\right)\left(8x+9\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie 2x-1=0 und 8x+9=0.

$$x=\frac{1}{2} x=-\frac{9}{8}$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$16x^{2}+10x-9=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 16, b durch 10 und c durch -9, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-10±\sqrt{10^{2}-4\times 16\left(-9\right)}}{2\times 16}$$

10 zum Quadrat.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100-4\times 16\left(-9\right)}}{2\times 16}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 16.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100-64\left(-9\right)}}{2\times 16}$$

Multiplizieren Sie -64 mit -9.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100+576}}{2\times 16}$$

Addieren Sie 100 zu 576.

$$x=\frac{-10±\sqrt{676}}{2\times 16}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 676.

$$x=\frac{-10±26}{2\times 16}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 16.

$$x=\frac{-10±26}{32}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-10±26}{32}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -10 zu 26.

$$x=\frac{16}{32}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{16}{32} um den niedrigsten Term, indem Sie 16 extrahieren und aufheben.

$$x=\frac{1}{2}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-10±26}{32}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 26 von -10.

$$x=-\frac{36}{32}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{-36}{32} um den niedrigsten Term, indem Sie 4 extrahieren und aufheben.

$$x=-\frac{9}{8}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=\frac{1}{2} x=-\frac{9}{8}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$16x^{2}+10x-9=0$$

Addieren Sie 9 zu beiden Seiten der Gleichung.

$$16x^{2}+10x-9-\left(-9\right)=-\left(-9\right)$$

Die Subtraktion von -9 von sich selbst ergibt 0.

$$16x^{2}+10x=-\left(-9\right)$$

Subtrahieren Sie -9 von 0.

$$16x^{2}+10x=9$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 16.

$$\frac{16x^{2}+10x}{16}=\frac{9}{16}$$

Division durch 16 macht die Multiplikation mit 16 rückgängig.

$$x^{2}+\frac{10}{16}x=\frac{9}{16}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{10}{16} um den niedrigsten Term, indem Sie 2 extrahieren und aufheben.

$$x^{2}+\frac{5}{8}x=\frac{9}{16}$$

Dividieren Sie \frac{5}{8}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um \frac{5}{16} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von \frac{5}{16} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}+\frac{5}{8}x+\left(\frac{5}{16}\right)^{2}=\frac{9}{16}+\left(\frac{5}{16}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von \frac{5}{16}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}+\frac{5}{8}x+\frac{25}{256}=\frac{9}{16}+\frac{25}{256}$$

Addieren Sie \frac{9}{16} zu \frac{25}{256}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$x^{2}+\frac{5}{8}x+\frac{25}{256}=\frac{169}{256}$$

Faktor x^{2}+\frac{5}{8}x+\frac{25}{256}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x+\frac{5}{16}\right)^{2}=\frac{169}{256}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{16}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{256}}$$

Vereinfachen.

$$x+\frac{5}{16}=\frac{13}{16} x+\frac{5}{16}=-\frac{13}{16}$$

\frac{5}{16} von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$x=\frac{1}{2} x=-\frac{9}{8}$$