16x^2+10x-9= lösen

$$16 x ^ { 2 } + 10 x - 9 =$$

Faktorisieren

$$\left(2x-1\right)\left(8x+9\right)$$

Lösungsschritte

Faktorisieren Sie den Ausdruck durch Gruppieren. Zuerst muss der Ausdruck als 16x^{2}+ax+bx-9 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=10 ab=16\left(-9\right)=-144$$

Weil ab negativ ist, haben a und b entgegengesetzte Vorzeichen. Weil a+b positiv ist, hat die positive Zahl einen größeren Absolutwert als die negative. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt -144 ergeben.

$$-1,144 -2,72 -3,48 -4,36 -6,24 -8,18 -9,16 -12,12$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$-1+144=143 -2+72=70 -3+48=45 -4+36=32 -6+24=18 -8+18=10 -9+16=7 -12+12=0$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe 10 ergibt.

$$a=-8 b=18$$

16x^{2}+10x-9 als \left(16x^{2}-8x\right)+\left(18x-9\right) umschreiben.

$$\left(16x^{2}-8x\right)+\left(18x-9\right)$$

Klammern Sie 8x in der ersten und 9 in der zweiten Gruppe aus.

$$8x\left(2x-1\right)+9\left(2x-1\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term 2x-1 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(2x-1\right)\left(8x+9\right)$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Ein quadratisches Polynom kann mithilfe der Transformation ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) faktorisiert werden, wobei x_{1} und x_{2} die Lösungen der quadratischen Gleichung ax^{2}+bx+c=0 sind.

$$16x^{2}+10x-9=0$$

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$x=\frac{-10±\sqrt{10^{2}-4\times 16\left(-9\right)}}{2\times 16}$$

10 zum Quadrat.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100-4\times 16\left(-9\right)}}{2\times 16}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 16.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100-64\left(-9\right)}}{2\times 16}$$

Multiplizieren Sie -64 mit -9.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100+576}}{2\times 16}$$

Addieren Sie 100 zu 576.

$$x=\frac{-10±\sqrt{676}}{2\times 16}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 676.

$$x=\frac{-10±26}{2\times 16}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 16.

$$x=\frac{-10±26}{32}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-10±26}{32}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -10 zu 26.

$$x=\frac{16}{32}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{16}{32} um den niedrigsten Term, indem Sie 16 extrahieren und aufheben.

$$x=\frac{1}{2}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-10±26}{32}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 26 von -10.

$$x=-\frac{36}{32}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{-36}{32} um den niedrigsten Term, indem Sie 4 extrahieren und aufheben.

$$x=-\frac{9}{8}$$

Den ursprünglichen Ausdruck mithilfe von ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) faktorisieren. Setzen Sie für x_{1} \frac{1}{2} und für x_{2} -\frac{9}{8} ein.

$$16x^{2}+10x-9=16\left(x-\frac{1}{2}\right)\left(x-\left(-\frac{9}{8}\right)\right)$$

Alle Ausdrücke der Form p-\left(-q\right) zu p+q vereinfachen.

$$16x^{2}+10x-9=16\left(x-\frac{1}{2}\right)\left(x+\frac{9}{8}\right)$$

Subtrahieren Sie \frac{1}{2} von x, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler subtrahieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$16x^{2}+10x-9=16\times \frac{2x-1}{2}\left(x+\frac{9}{8}\right)$$

Addieren Sie \frac{9}{8} zu x, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$16x^{2}+10x-9=16\times \frac{2x-1}{2}\times \frac{8x+9}{8}$$

Multiplizieren Sie \frac{2x-1}{2} mit \frac{8x+9}{8}, indem Sie den Zähler mit dem Zähler und den Nenner mit dem Nenner multiplizieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch bis auf die kleinsten möglichen Terme.

$$16x^{2}+10x-9=16\times \frac{\left(2x-1\right)\left(8x+9\right)}{2\times 8}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 8.

$$16x^{2}+10x-9=16\times \frac{\left(2x-1\right)\left(8x+9\right)}{16}$$

Den größten gemeinsamen Faktor 16 in 16 und 16 aufheben.

$$16x^{2}+10x-9=\left(2x-1\right)\left(8x+9\right)$$

Auswerten

$$\left(2x-1\right)\left(8x+9\right)$$