15x^2-525x-4500=0 lösen

$$15 x ^ { 2 } - 525 x - 4500 = 0$$

Nach x auflösen

$$x = \frac{5 \sqrt{97} + 35}{2} \approx 42,122144504$$

$$x=\frac{35-5\sqrt{97}}{2}\approx -7,122144504$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$15x^{2}-525x-4500=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 15, b durch -525 und c durch -4500, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-525\right)±\sqrt{\left(-525\right)^{2}-4\times 15\left(-4500\right)}}{2\times 15}$$

-525 zum Quadrat.

$$x=\frac{-\left(-525\right)±\sqrt{275625-4\times 15\left(-4500\right)}}{2\times 15}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 15.

$$x=\frac{-\left(-525\right)±\sqrt{275625-60\left(-4500\right)}}{2\times 15}$$

Multiplizieren Sie -60 mit -4500.

$$x=\frac{-\left(-525\right)±\sqrt{275625+270000}}{2\times 15}$$

Addieren Sie 275625 zu 270000.

$$x=\frac{-\left(-525\right)±\sqrt{545625}}{2\times 15}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 545625.

$$x=\frac{-\left(-525\right)±75\sqrt{97}}{2\times 15}$$

Das Gegenteil von -525 ist 525.

$$x=\frac{525±75\sqrt{97}}{2\times 15}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 15.

$$x=\frac{525±75\sqrt{97}}{30}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{525±75\sqrt{97}}{30}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 525 zu 75\sqrt{97}.

$$x=\frac{75\sqrt{97}+525}{30}$$

Dividieren Sie 525+75\sqrt{97} durch 30.

$$x=\frac{5\sqrt{97}+35}{2}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{525±75\sqrt{97}}{30}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 75\sqrt{97} von 525.

$$x=\frac{525-75\sqrt{97}}{30}$$

Dividieren Sie 525-75\sqrt{97} durch 30.

$$x=\frac{35-5\sqrt{97}}{2}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=\frac{5\sqrt{97}+35}{2} x=\frac{35-5\sqrt{97}}{2}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$15x^{2}-525x-4500=0$$

Addieren Sie 4500 zu beiden Seiten der Gleichung.

$$15x^{2}-525x-4500-\left(-4500\right)=-\left(-4500\right)$$

Die Subtraktion von -4500 von sich selbst ergibt 0.

$$15x^{2}-525x=-\left(-4500\right)$$

Subtrahieren Sie -4500 von 0.

$$15x^{2}-525x=4500$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 15.

$$\frac{15x^{2}-525x}{15}=\frac{4500}{15}$$

Division durch 15 macht die Multiplikation mit 15 rückgängig.

$$x^{2}+\left(-\frac{525}{15}\right)x=\frac{4500}{15}$$

Dividieren Sie -525 durch 15.

$$x^{2}-35x=\frac{4500}{15}$$

Dividieren Sie 4500 durch 15.

$$x^{2}-35x=300$$

Dividieren Sie -35, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -\frac{35}{2} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -\frac{35}{2} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}-35x+\left(-\frac{35}{2}\right)^{2}=300+\left(-\frac{35}{2}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von -\frac{35}{2}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}-35x+\frac{1225}{4}=300+\frac{1225}{4}$$

Addieren Sie 300 zu \frac{1225}{4}.

$$x^{2}-35x+\frac{1225}{4}=\frac{2425}{4}$$

Faktor x^{2}-35x+\frac{1225}{4}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x-\frac{35}{2}\right)^{2}=\frac{2425}{4}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x-\frac{35}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{2425}{4}}$$

Vereinfachen.

$$x-\frac{35}{2}=\frac{5\sqrt{97}}{2} x-\frac{35}{2}=-\frac{5\sqrt{97}}{2}$$

Addieren Sie \frac{35}{2} zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x=\frac{5\sqrt{97}+35}{2} x=\frac{35-5\sqrt{97}}{2}$$