15x^2-4x-4= lösen

$$15 x ^ { 2 } - 4 x - 4 =$$

Faktorisieren

$$\left(3x-2\right)\left(5x+2\right)$$

Lösungsschritte

Faktorisieren Sie den Ausdruck durch Gruppieren. Zuerst muss der Ausdruck als 15x^{2}+ax+bx-4 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=-4 ab=15\left(-4\right)=-60$$

Weil ab negativ ist, haben a und b entgegengesetzte Vorzeichen. Weil a+b negativ ist, hat die negative Zahl einen größeren Absolutwert als die positive. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt -60 ergeben.

$$1,-60 2,-30 3,-20 4,-15 5,-12 6,-10$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$1-60=-59 2-30=-28 3-20=-17 4-15=-11 5-12=-7 6-10=-4$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe -4 ergibt.

$$a=-10 b=6$$

15x^{2}-4x-4 als \left(15x^{2}-10x\right)+\left(6x-4\right) umschreiben.

$$\left(15x^{2}-10x\right)+\left(6x-4\right)$$

Klammern Sie 5x in der ersten und 2 in der zweiten Gruppe aus.

$$5x\left(3x-2\right)+2\left(3x-2\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term 3x-2 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(3x-2\right)\left(5x+2\right)$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Ein quadratisches Polynom kann mithilfe der Transformation ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) faktorisiert werden, wobei x_{1} und x_{2} die Lösungen der quadratischen Gleichung ax^{2}+bx+c=0 sind.

$$15x^{2}-4x-4=0$$

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 15\left(-4\right)}}{2\times 15}$$

-4 zum Quadrat.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\times 15\left(-4\right)}}{2\times 15}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 15.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-60\left(-4\right)}}{2\times 15}$$

Multiplizieren Sie -60 mit -4.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16+240}}{2\times 15}$$

Addieren Sie 16 zu 240.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{256}}{2\times 15}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 256.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±16}{2\times 15}$$

Das Gegenteil von -4 ist 4.

$$x=\frac{4±16}{2\times 15}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 15.

$$x=\frac{4±16}{30}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{4±16}{30}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 4 zu 16.

$$x=\frac{20}{30}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{20}{30} um den niedrigsten Term, indem Sie 10 extrahieren und aufheben.

$$x=\frac{2}{3}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{4±16}{30}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 16 von 4.

$$x=-\frac{12}{30}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{-12}{30} um den niedrigsten Term, indem Sie 6 extrahieren und aufheben.

$$x=-\frac{2}{5}$$

Den ursprünglichen Ausdruck mithilfe von ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) faktorisieren. Setzen Sie für x_{1} \frac{2}{3} und für x_{2} -\frac{2}{5} ein.

$$15x^{2}-4x-4=15\left(x-\frac{2}{3}\right)\left(x-\left(-\frac{2}{5}\right)\right)$$

Alle Ausdrücke der Form p-\left(-q\right) zu p+q vereinfachen.

$$15x^{2}-4x-4=15\left(x-\frac{2}{3}\right)\left(x+\frac{2}{5}\right)$$

Subtrahieren Sie \frac{2}{3} von x, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler subtrahieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$15x^{2}-4x-4=15\times \frac{3x-2}{3}\left(x+\frac{2}{5}\right)$$

Addieren Sie \frac{2}{5} zu x, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$15x^{2}-4x-4=15\times \frac{3x-2}{3}\times \frac{5x+2}{5}$$

Multiplizieren Sie \frac{3x-2}{3} mit \frac{5x+2}{5}, indem Sie den Zähler mit dem Zähler und den Nenner mit dem Nenner multiplizieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch bis auf die kleinsten möglichen Terme.

$$15x^{2}-4x-4=15\times \frac{\left(3x-2\right)\left(5x+2\right)}{3\times 5}$$

Multiplizieren Sie 3 mit 5.

$$15x^{2}-4x-4=15\times \frac{\left(3x-2\right)\left(5x+2\right)}{15}$$

Den größten gemeinsamen Faktor 15 in 15 und 15 aufheben.

$$15x^{2}-4x-4=\left(3x-2\right)\left(5x+2\right)$$

Auswerten

$$\left(3x-2\right)\left(5x+2\right)$$