15x^2-25x-60 lösen

$$15 x ^ { 2 } - 25 x - 60$$

Faktorisieren

$$5\left(x-3\right)\left(3x+4\right)$$

Lösungsschritte

Klammern Sie 5 aus.

$$5\left(3x^{2}-5x-12\right)$$

Betrachten Sie 3x^{2}-5x-12. Faktorisieren Sie den Ausdruck durch Gruppieren. Zuerst muss der Ausdruck als 3x^{2}+ax+bx-12 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=-5 ab=3\left(-12\right)=-36$$

Weil ab negativ ist, haben a und b entgegengesetzte Vorzeichen. Weil a+b negativ ist, hat die negative Zahl einen größeren Absolutwert als die positive. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt -36 ergeben.

$$1,-36 2,-18 3,-12 4,-9 6,-6$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$1-36=-35 2-18=-16 3-12=-9 4-9=-5 6-6=0$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe -5 ergibt.

$$a=-9 b=4$$

3x^{2}-5x-12 als \left(3x^{2}-9x\right)+\left(4x-12\right) umschreiben.

$$\left(3x^{2}-9x\right)+\left(4x-12\right)$$

Klammern Sie 3x in der ersten und 4 in der zweiten Gruppe aus.

$$3x\left(x-3\right)+4\left(x-3\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term x-3 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(x-3\right)\left(3x+4\right)$$

Schreiben Sie den vollständigen, faktorisierten Ausdruck um.

$$5\left(x-3\right)\left(3x+4\right)$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Ein quadratisches Polynom kann mithilfe der Transformation ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) faktorisiert werden, wobei x_{1} und x_{2} die Lösungen der quadratischen Gleichung ax^{2}+bx+c=0 sind.

$$15x^{2}-25x-60=0$$

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$x=\frac{-\left(-25\right)±\sqrt{\left(-25\right)^{2}-4\times 15\left(-60\right)}}{2\times 15}$$

-25 zum Quadrat.

$$x=\frac{-\left(-25\right)±\sqrt{625-4\times 15\left(-60\right)}}{2\times 15}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 15.

$$x=\frac{-\left(-25\right)±\sqrt{625-60\left(-60\right)}}{2\times 15}$$

Multiplizieren Sie -60 mit -60.

$$x=\frac{-\left(-25\right)±\sqrt{625+3600}}{2\times 15}$$

Addieren Sie 625 zu 3600.

$$x=\frac{-\left(-25\right)±\sqrt{4225}}{2\times 15}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 4225.

$$x=\frac{-\left(-25\right)±65}{2\times 15}$$

Das Gegenteil von -25 ist 25.

$$x=\frac{25±65}{2\times 15}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 15.

$$x=\frac{25±65}{30}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{25±65}{30}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 25 zu 65.

$$x=\frac{90}{30}$$

Dividieren Sie 90 durch 30.

$$x=3$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{25±65}{30}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 65 von 25.

$$x=-\frac{40}{30}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{-40}{30} um den niedrigsten Term, indem Sie 10 extrahieren und aufheben.

$$x=-\frac{4}{3}$$

Den ursprünglichen Ausdruck mithilfe von ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) faktorisieren. Setzen Sie für x_{1} 3 und für x_{2} -\frac{4}{3} ein.

$$15x^{2}-25x-60=15\left(x-3\right)\left(x-\left(-\frac{4}{3}\right)\right)$$

Alle Ausdrücke der Form p-\left(-q\right) zu p+q vereinfachen.

$$15x^{2}-25x-60=15\left(x-3\right)\left(x+\frac{4}{3}\right)$$

Addieren Sie \frac{4}{3} zu x, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$15x^{2}-25x-60=15\left(x-3\right)\times \frac{3x+4}{3}$$

Den größten gemeinsamen Faktor 3 in 15 und 3 aufheben.

$$15x^{2}-25x-60=5\left(x-3\right)\left(3x+4\right)$$

Auswerten

$$5\left(x-3\right)\left(3x+4\right)$$