15x^2-14x+3 lösen

$$15 x ^ { 2 } - 14 x + 3$$

Faktorisieren

$$\left(3x-1\right)\left(5x-3\right)$$

Lösungsschritte

Faktorisieren Sie den Ausdruck durch Gruppieren. Zuerst muss der Ausdruck als 15x^{2}+ax+bx+3 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=-14 ab=15\times 3=45$$

Weil ab positiv ist, haben a und b dasselbe Vorzeichen. Weil a+b negativ ist, sind a und b beide negativ. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt 45 ergeben.

$$-1,-45 -3,-15 -5,-9$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$-1-45=-46 -3-15=-18 -5-9=-14$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe -14 ergibt.

$$a=-9 b=-5$$

15x^{2}-14x+3 als \left(15x^{2}-9x\right)+\left(-5x+3\right) umschreiben.

$$\left(15x^{2}-9x\right)+\left(-5x+3\right)$$

Klammern Sie 3x in der ersten und -1 in der zweiten Gruppe aus.

$$3x\left(5x-3\right)-\left(5x-3\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term 5x-3 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(5x-3\right)\left(3x-1\right)$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Ein quadratisches Polynom kann mithilfe der Transformation ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) faktorisiert werden, wobei x_{1} und x_{2} die Lösungen der quadratischen Gleichung ax^{2}+bx+c=0 sind.

$$15x^{2}-14x+3=0$$

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{\left(-14\right)^{2}-4\times 15\times 3}}{2\times 15}$$

-14 zum Quadrat.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-4\times 15\times 3}}{2\times 15}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 15.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-60\times 3}}{2\times 15}$$

Multiplizieren Sie -60 mit 3.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-180}}{2\times 15}$$

Addieren Sie 196 zu -180.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{16}}{2\times 15}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 16.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±4}{2\times 15}$$

Das Gegenteil von -14 ist 14.

$$x=\frac{14±4}{2\times 15}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 15.

$$x=\frac{14±4}{30}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{14±4}{30}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 14 zu 4.

$$x=\frac{18}{30}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{18}{30} um den niedrigsten Term, indem Sie 6 extrahieren und aufheben.

$$x=\frac{3}{5}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{14±4}{30}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 4 von 14.

$$x=\frac{10}{30}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{10}{30} um den niedrigsten Term, indem Sie 10 extrahieren und aufheben.

$$x=\frac{1}{3}$$

Den ursprünglichen Ausdruck mithilfe von ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) faktorisieren. Setzen Sie für x_{1} \frac{3}{5} und für x_{2} \frac{1}{3} ein.

$$15x^{2}-14x+3=15\left(x-\frac{3}{5}\right)\left(x-\frac{1}{3}\right)$$

Subtrahieren Sie \frac{3}{5} von x, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler subtrahieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$15x^{2}-14x+3=15\times \frac{5x-3}{5}\left(x-\frac{1}{3}\right)$$

Subtrahieren Sie \frac{1}{3} von x, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler subtrahieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$15x^{2}-14x+3=15\times \frac{5x-3}{5}\times \frac{3x-1}{3}$$

Multiplizieren Sie \frac{5x-3}{5} mit \frac{3x-1}{3}, indem Sie den Zähler mit dem Zähler und den Nenner mit dem Nenner multiplizieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch bis auf die kleinsten möglichen Terme.

$$15x^{2}-14x+3=15\times \frac{\left(5x-3\right)\left(3x-1\right)}{5\times 3}$$

Multiplizieren Sie 5 mit 3.

$$15x^{2}-14x+3=15\times \frac{\left(5x-3\right)\left(3x-1\right)}{15}$$

Den größten gemeinsamen Faktor 15 in 15 und 15 aufheben.

$$15x^{2}-14x+3=\left(5x-3\right)\left(3x-1\right)$$

Auswerten

$$\left(3x-1\right)\left(5x-3\right)$$