15x^2-11x-14 lösen

$$15 x ^ { 2 } - 11 x - 14$$

Faktorisieren

$$\left(5x-7\right)\left(3x+2\right)$$

Lösungsschritte

Faktorisieren Sie den Ausdruck durch Gruppieren. Zuerst muss der Ausdruck als 15x^{2}+ax+bx-14 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=-11 ab=15\left(-14\right)=-210$$

Weil ab negativ ist, haben a und b entgegengesetzte Vorzeichen. Weil a+b negativ ist, hat die negative Zahl einen größeren Absolutwert als die positive. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt -210 ergeben.

$$1,-210 2,-105 3,-70 5,-42 6,-35 7,-30 10,-21 14,-15$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$1-210=-209 2-105=-103 3-70=-67 5-42=-37 6-35=-29 7-30=-23 10-21=-11 14-15=-1$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe -11 ergibt.

$$a=-21 b=10$$

15x^{2}-11x-14 als \left(15x^{2}-21x\right)+\left(10x-14\right) umschreiben.

$$\left(15x^{2}-21x\right)+\left(10x-14\right)$$

Klammern Sie 3x in der ersten und 2 in der zweiten Gruppe aus.

$$3x\left(5x-7\right)+2\left(5x-7\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term 5x-7 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(5x-7\right)\left(3x+2\right)$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Ein quadratisches Polynom kann mithilfe der Transformation ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) faktorisiert werden, wobei x_{1} und x_{2} die Lösungen der quadratischen Gleichung ax^{2}+bx+c=0 sind.

$$15x^{2}-11x-14=0$$

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{\left(-11\right)^{2}-4\times 15\left(-14\right)}}{2\times 15}$$

-11 zum Quadrat.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-4\times 15\left(-14\right)}}{2\times 15}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 15.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-60\left(-14\right)}}{2\times 15}$$

Multiplizieren Sie -60 mit -14.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121+840}}{2\times 15}$$

Addieren Sie 121 zu 840.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{961}}{2\times 15}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 961.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±31}{2\times 15}$$

Das Gegenteil von -11 ist 11.

$$x=\frac{11±31}{2\times 15}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 15.

$$x=\frac{11±31}{30}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{11±31}{30}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 11 zu 31.

$$x=\frac{42}{30}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{42}{30} um den niedrigsten Term, indem Sie 6 extrahieren und aufheben.

$$x=\frac{7}{5}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{11±31}{30}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 31 von 11.

$$x=-\frac{20}{30}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{-20}{30} um den niedrigsten Term, indem Sie 10 extrahieren und aufheben.

$$x=-\frac{2}{3}$$

Den ursprünglichen Ausdruck mithilfe von ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) faktorisieren. Setzen Sie für x_{1} \frac{7}{5} und für x_{2} -\frac{2}{3} ein.

$$15x^{2}-11x-14=15\left(x-\frac{7}{5}\right)\left(x-\left(-\frac{2}{3}\right)\right)$$

Alle Ausdrücke der Form p-\left(-q\right) zu p+q vereinfachen.

$$15x^{2}-11x-14=15\left(x-\frac{7}{5}\right)\left(x+\frac{2}{3}\right)$$

Subtrahieren Sie \frac{7}{5} von x, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler subtrahieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$15x^{2}-11x-14=15\times \frac{5x-7}{5}\left(x+\frac{2}{3}\right)$$

Addieren Sie \frac{2}{3} zu x, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$15x^{2}-11x-14=15\times \frac{5x-7}{5}\times \frac{3x+2}{3}$$

Multiplizieren Sie \frac{5x-7}{5} mit \frac{3x+2}{3}, indem Sie den Zähler mit dem Zähler und den Nenner mit dem Nenner multiplizieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch bis auf die kleinsten möglichen Terme.

$$15x^{2}-11x-14=15\times \frac{\left(5x-7\right)\left(3x+2\right)}{5\times 3}$$

Multiplizieren Sie 5 mit 3.

$$15x^{2}-11x-14=15\times \frac{\left(5x-7\right)\left(3x+2\right)}{15}$$

Den größten gemeinsamen Faktor 15 in 15 und 15 aufheben.

$$15x^{2}-11x-14=\left(5x-7\right)\left(3x+2\right)$$

Auswerten

$$\left(5x-7\right)\left(3x+2\right)$$