15x^2+25x+10 lösen

$$15 x ^ { 2 } + 25 x + 10$$

Faktorisieren

$$5\left(x+1\right)\left(3x+2\right)$$

Lösungsschritte

Klammern Sie 5 aus.

$$5\left(3x^{2}+5x+2\right)$$

Betrachten Sie 3x^{2}+5x+2. Faktorisieren Sie den Ausdruck durch Gruppieren. Zuerst muss der Ausdruck als 3x^{2}+ax+bx+2 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=5 ab=3\times 2=6$$

Weil ab positiv ist, haben a und b dasselbe Vorzeichen. Weil a+b positiv ist, sind a und b beide positiv. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt 6 ergeben.

$$1,6 2,3$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$1+6=7 2+3=5$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe 5 ergibt.

$$a=2 b=3$$

3x^{2}+5x+2 als \left(3x^{2}+2x\right)+\left(3x+2\right) umschreiben.

$$\left(3x^{2}+2x\right)+\left(3x+2\right)$$

Klammern Sie x in 3x^{2}+2x aus.

$$x\left(3x+2\right)+3x+2$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term 3x+2 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(3x+2\right)\left(x+1\right)$$

Schreiben Sie den vollständigen, faktorisierten Ausdruck um.

$$5\left(3x+2\right)\left(x+1\right)$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Ein quadratisches Polynom kann mithilfe der Transformation ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) faktorisiert werden, wobei x_{1} und x_{2} die Lösungen der quadratischen Gleichung ax^{2}+bx+c=0 sind.

$$15x^{2}+25x+10=0$$

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$x=\frac{-25±\sqrt{25^{2}-4\times 15\times 10}}{2\times 15}$$

25 zum Quadrat.

$$x=\frac{-25±\sqrt{625-4\times 15\times 10}}{2\times 15}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 15.

$$x=\frac{-25±\sqrt{625-60\times 10}}{2\times 15}$$

Multiplizieren Sie -60 mit 10.

$$x=\frac{-25±\sqrt{625-600}}{2\times 15}$$

Addieren Sie 625 zu -600.

$$x=\frac{-25±\sqrt{25}}{2\times 15}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 25.

$$x=\frac{-25±5}{2\times 15}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 15.

$$x=\frac{-25±5}{30}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-25±5}{30}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -25 zu 5.

$$x=-\frac{20}{30}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{-20}{30} um den niedrigsten Term, indem Sie 10 extrahieren und aufheben.

$$x=-\frac{2}{3}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-25±5}{30}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 5 von -25.

$$x=-\frac{30}{30}$$

Dividieren Sie -30 durch 30.

$$x=-1$$

Den ursprünglichen Ausdruck mithilfe von ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) faktorisieren. Setzen Sie für x_{1} -\frac{2}{3} und für x_{2} -1 ein.

$$15x^{2}+25x+10=15\left(x-\left(-\frac{2}{3}\right)\right)\left(x-\left(-1\right)\right)$$

Alle Ausdrücke der Form p-\left(-q\right) zu p+q vereinfachen.

$$15x^{2}+25x+10=15\left(x+\frac{2}{3}\right)\left(x+1\right)$$

Addieren Sie \frac{2}{3} zu x, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$15x^{2}+25x+10=15\times \frac{3x+2}{3}\left(x+1\right)$$

Den größten gemeinsamen Faktor 3 in 15 und 3 aufheben.

$$15x^{2}+25x+10=5\left(3x+2\right)\left(x+1\right)$$

Auswerten

$$5\left(x+1\right)\left(3x+2\right)$$