15x^2+16x-15= lösen

$$15 x ^ { 2 } + 16 x - 15 =$$

Faktorisieren

$$\left(5x-3\right)\left(3x+5\right)$$

Lösungsschritte

Faktorisieren Sie den Ausdruck durch Gruppieren. Zuerst muss der Ausdruck als 15x^{2}+ax+bx-15 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=16 ab=15\left(-15\right)=-225$$

Weil ab negativ ist, haben a und b entgegengesetzte Vorzeichen. Weil a+b positiv ist, hat die positive Zahl einen größeren Absolutwert als die negative. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt -225 ergeben.

$$-1,225 -3,75 -5,45 -9,25 -15,15$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$-1+225=224 -3+75=72 -5+45=40 -9+25=16 -15+15=0$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe 16 ergibt.

$$a=-9 b=25$$

15x^{2}+16x-15 als \left(15x^{2}-9x\right)+\left(25x-15\right) umschreiben.

$$\left(15x^{2}-9x\right)+\left(25x-15\right)$$

Klammern Sie 3x in der ersten und 5 in der zweiten Gruppe aus.

$$3x\left(5x-3\right)+5\left(5x-3\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term 5x-3 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(5x-3\right)\left(3x+5\right)$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Ein quadratisches Polynom kann mithilfe der Transformation ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) faktorisiert werden, wobei x_{1} und x_{2} die Lösungen der quadratischen Gleichung ax^{2}+bx+c=0 sind.

$$15x^{2}+16x-15=0$$

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$x=\frac{-16±\sqrt{16^{2}-4\times 15\left(-15\right)}}{2\times 15}$$

16 zum Quadrat.

$$x=\frac{-16±\sqrt{256-4\times 15\left(-15\right)}}{2\times 15}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 15.

$$x=\frac{-16±\sqrt{256-60\left(-15\right)}}{2\times 15}$$

Multiplizieren Sie -60 mit -15.

$$x=\frac{-16±\sqrt{256+900}}{2\times 15}$$

Addieren Sie 256 zu 900.

$$x=\frac{-16±\sqrt{1156}}{2\times 15}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 1156.

$$x=\frac{-16±34}{2\times 15}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 15.

$$x=\frac{-16±34}{30}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-16±34}{30}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -16 zu 34.

$$x=\frac{18}{30}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{18}{30} um den niedrigsten Term, indem Sie 6 extrahieren und aufheben.

$$x=\frac{3}{5}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-16±34}{30}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 34 von -16.

$$x=-\frac{50}{30}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{-50}{30} um den niedrigsten Term, indem Sie 10 extrahieren und aufheben.

$$x=-\frac{5}{3}$$

Den ursprünglichen Ausdruck mithilfe von ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) faktorisieren. Setzen Sie für x_{1} \frac{3}{5} und für x_{2} -\frac{5}{3} ein.

$$15x^{2}+16x-15=15\left(x-\frac{3}{5}\right)\left(x-\left(-\frac{5}{3}\right)\right)$$

Alle Ausdrücke der Form p-\left(-q\right) zu p+q vereinfachen.

$$15x^{2}+16x-15=15\left(x-\frac{3}{5}\right)\left(x+\frac{5}{3}\right)$$

Subtrahieren Sie \frac{3}{5} von x, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler subtrahieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$15x^{2}+16x-15=15\times \frac{5x-3}{5}\left(x+\frac{5}{3}\right)$$

Addieren Sie \frac{5}{3} zu x, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$15x^{2}+16x-15=15\times \frac{5x-3}{5}\times \frac{3x+5}{3}$$

Multiplizieren Sie \frac{5x-3}{5} mit \frac{3x+5}{3}, indem Sie den Zähler mit dem Zähler und den Nenner mit dem Nenner multiplizieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch bis auf die kleinsten möglichen Terme.

$$15x^{2}+16x-15=15\times \frac{\left(5x-3\right)\left(3x+5\right)}{5\times 3}$$

Multiplizieren Sie 5 mit 3.

$$15x^{2}+16x-15=15\times \frac{\left(5x-3\right)\left(3x+5\right)}{15}$$

Den größten gemeinsamen Faktor 15 in 15 und 15 aufheben.

$$15x^{2}+16x-15=\left(5x-3\right)\left(3x+5\right)$$

Auswerten

$$\left(5x-3\right)\left(3x+5\right)$$