15x^2+11x+2=0 lösen

$$15 x ^ { 2 } + 11 x + 2 = 0$$

Nach x auflösen

$$x=-\frac{2}{5}=-0,4$$

$$x=-\frac{1}{3}\approx -0,333333333$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung mittels Gruppierung

Um die Gleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite durch Gruppieren. Zuerst muss die linke Seite als 15x^{2}+ax+bx+2 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=11 ab=15\times 2=30$$

Weil ab positiv ist, haben a und b dasselbe Vorzeichen. Weil a+b positiv ist, sind a und b beide positiv. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt 30 ergeben.

$$1,30 2,15 3,10 5,6$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$1+30=31 2+15=17 3+10=13 5+6=11$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe 11 ergibt.

$$a=5 b=6$$

15x^{2}+11x+2 als \left(15x^{2}+5x\right)+\left(6x+2\right) umschreiben.

$$\left(15x^{2}+5x\right)+\left(6x+2\right)$$

Klammern Sie 5x in der ersten und 2 in der zweiten Gruppe aus.

$$5x\left(3x+1\right)+2\left(3x+1\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term 3x+1 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(3x+1\right)\left(5x+2\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie 3x+1=0 und 5x+2=0.

$$x=-\frac{1}{3} x=-\frac{2}{5}$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$15x^{2}+11x+2=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 15, b durch 11 und c durch 2, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-11±\sqrt{11^{2}-4\times 15\times 2}}{2\times 15}$$

11 zum Quadrat.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-4\times 15\times 2}}{2\times 15}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 15.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-60\times 2}}{2\times 15}$$

Multiplizieren Sie -60 mit 2.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-120}}{2\times 15}$$

Addieren Sie 121 zu -120.

$$x=\frac{-11±\sqrt{1}}{2\times 15}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 1.

$$x=\frac{-11±1}{2\times 15}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 15.

$$x=\frac{-11±1}{30}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-11±1}{30}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -11 zu 1.

$$x=-\frac{10}{30}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{-10}{30} um den niedrigsten Term, indem Sie 10 extrahieren und aufheben.

$$x=-\frac{1}{3}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-11±1}{30}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 1 von -11.

$$x=-\frac{12}{30}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{-12}{30} um den niedrigsten Term, indem Sie 6 extrahieren und aufheben.

$$x=-\frac{2}{5}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=-\frac{1}{3} x=-\frac{2}{5}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$15x^{2}+11x+2=0$$

2 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$15x^{2}+11x+2-2=-2$$

Die Subtraktion von 2 von sich selbst ergibt 0.

$$15x^{2}+11x=-2$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 15.

$$\frac{15x^{2}+11x}{15}=-\frac{2}{15}$$

Division durch 15 macht die Multiplikation mit 15 rückgängig.

$$x^{2}+\frac{11}{15}x=-\frac{2}{15}$$

Dividieren Sie \frac{11}{15}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um \frac{11}{30} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von \frac{11}{30} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}+\frac{11}{15}x+\left(\frac{11}{30}\right)^{2}=-\frac{2}{15}+\left(\frac{11}{30}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von \frac{11}{30}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}+\frac{11}{15}x+\frac{121}{900}=-\frac{2}{15}+\frac{121}{900}$$

Addieren Sie -\frac{2}{15} zu \frac{121}{900}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$x^{2}+\frac{11}{15}x+\frac{121}{900}=\frac{1}{900}$$

Faktor x^{2}+\frac{11}{15}x+\frac{121}{900}. Wenn es sich bei x^{2}+bx+c um ein perfektes Quadrat handelt, kann es immer in der Form von \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisiert werden.

$$\left(x+\frac{11}{30}\right)^{2}=\frac{1}{900}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x+\frac{11}{30}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{900}}$$

Vereinfachen.

$$x+\frac{11}{30}=\frac{1}{30} x+\frac{11}{30}=-\frac{1}{30}$$

\frac{11}{30} von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$x=-\frac{1}{3} x=-\frac{2}{5}$$