15p^2+7p-2 lösen

$$15 p ^ { 2 } + 7 p - 2$$

Faktorisieren

$$\left(5p-1\right)\left(3p+2\right)$$

Lösungsschritte

Faktorisieren Sie den Ausdruck durch Gruppieren. Zuerst muss der Ausdruck als 15p^{2}+ap+bp-2 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=7 ab=15\left(-2\right)=-30$$

Weil ab negativ ist, haben a und b entgegengesetzte Vorzeichen. Weil a+b positiv ist, hat die positive Zahl einen größeren Absolutwert als die negative. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt -30 ergeben.

$$-1,30 -2,15 -3,10 -5,6$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$-1+30=29 -2+15=13 -3+10=7 -5+6=1$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe 7 ergibt.

$$a=-3 b=10$$

15p^{2}+7p-2 als \left(15p^{2}-3p\right)+\left(10p-2\right) umschreiben.

$$\left(15p^{2}-3p\right)+\left(10p-2\right)$$

Klammern Sie 3p in der ersten und 2 in der zweiten Gruppe aus.

$$3p\left(5p-1\right)+2\left(5p-1\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term 5p-1 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(5p-1\right)\left(3p+2\right)$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Ein quadratisches Polynom kann mithilfe der Transformation ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) faktorisiert werden, wobei x_{1} und x_{2} die Lösungen der quadratischen Gleichung ax^{2}+bx+c=0 sind.

$$15p^{2}+7p-2=0$$

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$p=\frac{-7±\sqrt{7^{2}-4\times 15\left(-2\right)}}{2\times 15}$$

7 zum Quadrat.

$$p=\frac{-7±\sqrt{49-4\times 15\left(-2\right)}}{2\times 15}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 15.

$$p=\frac{-7±\sqrt{49-60\left(-2\right)}}{2\times 15}$$

Multiplizieren Sie -60 mit -2.

$$p=\frac{-7±\sqrt{49+120}}{2\times 15}$$

Addieren Sie 49 zu 120.

$$p=\frac{-7±\sqrt{169}}{2\times 15}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 169.

$$p=\frac{-7±13}{2\times 15}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 15.

$$p=\frac{-7±13}{30}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung p=\frac{-7±13}{30}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -7 zu 13.

$$p=\frac{6}{30}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{6}{30} um den niedrigsten Term, indem Sie 6 extrahieren und aufheben.

$$p=\frac{1}{5}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung p=\frac{-7±13}{30}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 13 von -7.

$$p=-\frac{20}{30}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{-20}{30} um den niedrigsten Term, indem Sie 10 extrahieren und aufheben.

$$p=-\frac{2}{3}$$

Den ursprünglichen Ausdruck mithilfe von ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) faktorisieren. Setzen Sie für x_{1} \frac{1}{5} und für x_{2} -\frac{2}{3} ein.

$$15p^{2}+7p-2=15\left(p-\frac{1}{5}\right)\left(p-\left(-\frac{2}{3}\right)\right)$$

Alle Ausdrücke der Form p-\left(-q\right) zu p+q vereinfachen.

$$15p^{2}+7p-2=15\left(p-\frac{1}{5}\right)\left(p+\frac{2}{3}\right)$$

Subtrahieren Sie \frac{1}{5} von p, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler subtrahieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$15p^{2}+7p-2=15\times \frac{5p-1}{5}\left(p+\frac{2}{3}\right)$$

Addieren Sie \frac{2}{3} zu p, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$15p^{2}+7p-2=15\times \frac{5p-1}{5}\times \frac{3p+2}{3}$$

Multiplizieren Sie \frac{5p-1}{5} mit \frac{3p+2}{3}, indem Sie den Zähler mit dem Zähler und den Nenner mit dem Nenner multiplizieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch bis auf die kleinsten möglichen Terme.

$$15p^{2}+7p-2=15\times \frac{\left(5p-1\right)\left(3p+2\right)}{5\times 3}$$

Multiplizieren Sie 5 mit 3.

$$15p^{2}+7p-2=15\times \frac{\left(5p-1\right)\left(3p+2\right)}{15}$$

Den größten gemeinsamen Faktor 15 in 15 und 15 aufheben.

$$15p^{2}+7p-2=\left(5p-1\right)\left(3p+2\right)$$

Auswerten

$$\left(5p-1\right)\left(3p+2\right)$$