15b^2-100b-160 lösen

$$15 b ^ { 2 } - 100 b - 160$$

Faktorisieren

$$5\left(b-8\right)\left(3b+4\right)$$

Lösungsschritte

Klammern Sie 5 aus.

$$5\left(3b^{2}-20b-32\right)$$

Betrachten Sie 3b^{2}-20b-32. Faktorisieren Sie den Ausdruck durch Gruppieren. Zuerst muss der Ausdruck als 3b^{2}+pb+qb-32 umgeschrieben werden. Um p und q zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$p+q=-20 pq=3\left(-32\right)=-96$$

Weil pq negativ ist, haben p und q entgegengesetzte Vorzeichen. Weil p+q negativ ist, hat die negative Zahl einen größeren Absolutwert als die positive. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt -96 ergeben.

$$1,-96 2,-48 3,-32 4,-24 6,-16 8,-12$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$1-96=-95 2-48=-46 3-32=-29 4-24=-20 6-16=-10 8-12=-4$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe -20 ergibt.

$$p=-24 q=4$$

3b^{2}-20b-32 als \left(3b^{2}-24b\right)+\left(4b-32\right) umschreiben.

$$\left(3b^{2}-24b\right)+\left(4b-32\right)$$

Klammern Sie 3b in der ersten und 4 in der zweiten Gruppe aus.

$$3b\left(b-8\right)+4\left(b-8\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term b-8 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(b-8\right)\left(3b+4\right)$$

Schreiben Sie den vollständigen, faktorisierten Ausdruck um.

$$5\left(b-8\right)\left(3b+4\right)$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Ein quadratisches Polynom kann mithilfe der Transformation ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) faktorisiert werden, wobei x_{1} und x_{2} die Lösungen der quadratischen Gleichung ax^{2}+bx+c=0 sind.

$$15b^{2}-100b-160=0$$

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$b=\frac{-\left(-100\right)±\sqrt{\left(-100\right)^{2}-4\times 15\left(-160\right)}}{2\times 15}$$

-100 zum Quadrat.

$$b=\frac{-\left(-100\right)±\sqrt{10000-4\times 15\left(-160\right)}}{2\times 15}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 15.

$$b=\frac{-\left(-100\right)±\sqrt{10000-60\left(-160\right)}}{2\times 15}$$

Multiplizieren Sie -60 mit -160.

$$b=\frac{-\left(-100\right)±\sqrt{10000+9600}}{2\times 15}$$

Addieren Sie 10000 zu 9600.

$$b=\frac{-\left(-100\right)±\sqrt{19600}}{2\times 15}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 19600.

$$b=\frac{-\left(-100\right)±140}{2\times 15}$$

Das Gegenteil von -100 ist 100.

$$b=\frac{100±140}{2\times 15}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 15.

$$b=\frac{100±140}{30}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung b=\frac{100±140}{30}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 100 zu 140.

$$b=\frac{240}{30}$$

Dividieren Sie 240 durch 30.

$$b=8$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung b=\frac{100±140}{30}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 140 von 100.

$$b=-\frac{40}{30}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{-40}{30} um den niedrigsten Term, indem Sie 10 extrahieren und aufheben.

$$b=-\frac{4}{3}$$

Den ursprünglichen Ausdruck mithilfe von ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) faktorisieren. Setzen Sie für x_{1} 8 und für x_{2} -\frac{4}{3} ein.

$$15b^{2}-100b-160=15\left(b-8\right)\left(b-\left(-\frac{4}{3}\right)\right)$$

Alle Ausdrücke der Form p-\left(-q\right) zu p+q vereinfachen.

$$15b^{2}-100b-160=15\left(b-8\right)\left(b+\frac{4}{3}\right)$$

Addieren Sie \frac{4}{3} zu b, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$15b^{2}-100b-160=15\left(b-8\right)\times \frac{3b+4}{3}$$

Den größten gemeinsamen Faktor 3 in 15 und 3 aufheben.

$$15b^{2}-100b-160=5\left(b-8\right)\left(3b+4\right)$$

Auswerten

$$5\left(b-8\right)\left(3b+4\right)$$