15x^2-8x-16 lösen

$$15 { x }^{ 2 } -8x-16$$

Faktorisieren

$$\left(3x-4\right)\left(5x+4\right)$$

Lösungsschritte

Faktorisieren Sie den Ausdruck durch Gruppieren. Zuerst muss der Ausdruck als 15x^{2}+ax+bx-16 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=-8 ab=15\left(-16\right)=-240$$

Weil ab negativ ist, haben a und b entgegengesetzte Vorzeichen. Weil a+b negativ ist, hat die negative Zahl einen größeren Absolutwert als die positive. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt -240 ergeben.

$$1,-240 2,-120 3,-80 4,-60 5,-48 6,-40 8,-30 10,-24 12,-20 15,-16$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$1-240=-239 2-120=-118 3-80=-77 4-60=-56 5-48=-43 6-40=-34 8-30=-22 10-24=-14 12-20=-8 15-16=-1$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe -8 ergibt.

$$a=-20 b=12$$

15x^{2}-8x-16 als \left(15x^{2}-20x\right)+\left(12x-16\right) umschreiben.

$$\left(15x^{2}-20x\right)+\left(12x-16\right)$$

Klammern Sie 5x in der ersten und 4 in der zweiten Gruppe aus.

$$5x\left(3x-4\right)+4\left(3x-4\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term 3x-4 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(3x-4\right)\left(5x+4\right)$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Ein quadratisches Polynom kann mithilfe der Transformation ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) faktorisiert werden, wobei x_{1} und x_{2} die Lösungen der quadratischen Gleichung ax^{2}+bx+c=0 sind.

$$15x^{2}-8x-16=0$$

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{\left(-8\right)^{2}-4\times 15\left(-16\right)}}{2\times 15}$$

-8 zum Quadrat.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-4\times 15\left(-16\right)}}{2\times 15}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 15.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-60\left(-16\right)}}{2\times 15}$$

Multiplizieren Sie -60 mit -16.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64+960}}{2\times 15}$$

Addieren Sie 64 zu 960.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{1024}}{2\times 15}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 1024.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±32}{2\times 15}$$

Das Gegenteil von -8 ist 8.

$$x=\frac{8±32}{2\times 15}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 15.

$$x=\frac{8±32}{30}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{8±32}{30}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 8 zu 32.

$$x=\frac{40}{30}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{40}{30} um den niedrigsten Term, indem Sie 10 extrahieren und aufheben.

$$x=\frac{4}{3}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{8±32}{30}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 32 von 8.

$$x=-\frac{24}{30}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{-24}{30} um den niedrigsten Term, indem Sie 6 extrahieren und aufheben.

$$x=-\frac{4}{5}$$

Den ursprünglichen Ausdruck mithilfe von ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) faktorisieren. Setzen Sie für x_{1} \frac{4}{3} und für x_{2} -\frac{4}{5} ein.

$$15x^{2}-8x-16=15\left(x-\frac{4}{3}\right)\left(x-\left(-\frac{4}{5}\right)\right)$$

Alle Ausdrücke der Form p-\left(-q\right) zu p+q vereinfachen.

$$15x^{2}-8x-16=15\left(x-\frac{4}{3}\right)\left(x+\frac{4}{5}\right)$$

Subtrahieren Sie \frac{4}{3} von x, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler subtrahieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$15x^{2}-8x-16=15\times \frac{3x-4}{3}\left(x+\frac{4}{5}\right)$$

Addieren Sie \frac{4}{5} zu x, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$15x^{2}-8x-16=15\times \frac{3x-4}{3}\times \frac{5x+4}{5}$$

Multiplizieren Sie \frac{3x-4}{3} mit \frac{5x+4}{5}, indem Sie den Zähler mit dem Zähler und den Nenner mit dem Nenner multiplizieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch bis auf die kleinsten möglichen Terme.

$$15x^{2}-8x-16=15\times \frac{\left(3x-4\right)\left(5x+4\right)}{3\times 5}$$

Multiplizieren Sie 3 mit 5.

$$15x^{2}-8x-16=15\times \frac{\left(3x-4\right)\left(5x+4\right)}{15}$$

Den größten gemeinsamen Faktor 15 in 15 und 15 aufheben.

$$15x^{2}-8x-16=\left(3x-4\right)\left(5x+4\right)$$

Auswerten

$$\left(3x-4\right)\left(5x+4\right)$$