15x^2-26x-57 lösen

$$15 { x }^{ 2 } -26x-57$$

Faktorisieren

$$\left(x-3\right)\left(15x+19\right)$$

Lösungsschritte

Faktorisieren Sie den Ausdruck durch Gruppieren. Zuerst muss der Ausdruck als 15x^{2}+ax+bx-57 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=-26 ab=15\left(-57\right)=-855$$

Weil ab negativ ist, haben a und b entgegengesetzte Vorzeichen. Weil a+b negativ ist, hat die negative Zahl einen größeren Absolutwert als die positive. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt -855 ergeben.

$$1,-855 3,-285 5,-171 9,-95 15,-57 19,-45$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$1-855=-854 3-285=-282 5-171=-166 9-95=-86 15-57=-42 19-45=-26$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe -26 ergibt.

$$a=-45 b=19$$

15x^{2}-26x-57 als \left(15x^{2}-45x\right)+\left(19x-57\right) umschreiben.

$$\left(15x^{2}-45x\right)+\left(19x-57\right)$$

Klammern Sie 15x in der ersten und 19 in der zweiten Gruppe aus.

$$15x\left(x-3\right)+19\left(x-3\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term x-3 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(x-3\right)\left(15x+19\right)$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Ein quadratisches Polynom kann mithilfe der Transformation ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) faktorisiert werden, wobei x_{1} und x_{2} die Lösungen der quadratischen Gleichung ax^{2}+bx+c=0 sind.

$$15x^{2}-26x-57=0$$

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$x=\frac{-\left(-26\right)±\sqrt{\left(-26\right)^{2}-4\times 15\left(-57\right)}}{2\times 15}$$

-26 zum Quadrat.

$$x=\frac{-\left(-26\right)±\sqrt{676-4\times 15\left(-57\right)}}{2\times 15}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 15.

$$x=\frac{-\left(-26\right)±\sqrt{676-60\left(-57\right)}}{2\times 15}$$

Multiplizieren Sie -60 mit -57.

$$x=\frac{-\left(-26\right)±\sqrt{676+3420}}{2\times 15}$$

Addieren Sie 676 zu 3420.

$$x=\frac{-\left(-26\right)±\sqrt{4096}}{2\times 15}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 4096.

$$x=\frac{-\left(-26\right)±64}{2\times 15}$$

Das Gegenteil von -26 ist 26.

$$x=\frac{26±64}{2\times 15}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 15.

$$x=\frac{26±64}{30}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{26±64}{30}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 26 zu 64.

$$x=\frac{90}{30}$$

Dividieren Sie 90 durch 30.

$$x=3$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{26±64}{30}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 64 von 26.

$$x=-\frac{38}{30}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{-38}{30} um den niedrigsten Term, indem Sie 2 extrahieren und aufheben.

$$x=-\frac{19}{15}$$

Den ursprünglichen Ausdruck mithilfe von ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) faktorisieren. Setzen Sie für x_{1} 3 und für x_{2} -\frac{19}{15} ein.

$$15x^{2}-26x-57=15\left(x-3\right)\left(x-\left(-\frac{19}{15}\right)\right)$$

Alle Ausdrücke der Form p-\left(-q\right) zu p+q vereinfachen.

$$15x^{2}-26x-57=15\left(x-3\right)\left(x+\frac{19}{15}\right)$$

Addieren Sie \frac{19}{15} zu x, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$15x^{2}-26x-57=15\left(x-3\right)\times \frac{15x+19}{15}$$

Den größten gemeinsamen Faktor 15 in 15 und 15 aufheben.

$$15x^{2}-26x-57=\left(x-3\right)\left(15x+19\right)$$

Auswerten

$$\left(x-3\right)\left(15x+19\right)$$