15x^2-12=8x lösen

$$15 { x }^{ 2 } -12=8x$$

Nach x auflösen

$$x=-\frac{2}{3}\approx -0,666666667$$

$$x = \frac{6}{5} = 1\frac{1}{5} = 1,2$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung mittels Gruppierung

Subtrahieren Sie 8x von beiden Seiten.

$$15x^{2}-12-8x=0$$

Ordnen Sie das Polynom neu an, um es in die Standardform zu bringen. Platzieren Sie die Terme in der Reihenfolge von der höchsten zur niedrigsten Potenz.

$$15x^{2}-8x-12=0$$

Um die Gleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite durch Gruppieren. Zuerst muss die linke Seite als 15x^{2}+ax+bx-12 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=-8 ab=15\left(-12\right)=-180$$

Weil ab negativ ist, haben a und b entgegengesetzte Vorzeichen. Weil a+b negativ ist, hat die negative Zahl einen größeren Absolutwert als die positive. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt -180 ergeben.

$$1,-180 2,-90 3,-60 4,-45 5,-36 6,-30 9,-20 10,-18 12,-15$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$1-180=-179 2-90=-88 3-60=-57 4-45=-41 5-36=-31 6-30=-24 9-20=-11 10-18=-8 12-15=-3$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe -8 ergibt.

$$a=-18 b=10$$

15x^{2}-8x-12 als \left(15x^{2}-18x\right)+\left(10x-12\right) umschreiben.

$$\left(15x^{2}-18x\right)+\left(10x-12\right)$$

Klammern Sie 3x in der ersten und 2 in der zweiten Gruppe aus.

$$3x\left(5x-6\right)+2\left(5x-6\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term 5x-6 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(5x-6\right)\left(3x+2\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie 5x-6=0 und 3x+2=0.

$$x=\frac{6}{5} x=-\frac{2}{3}$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Subtrahieren Sie 8x von beiden Seiten.

$$15x^{2}-12-8x=0$$

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$15x^{2}-8x-12=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 15, b durch -8 und c durch -12, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{\left(-8\right)^{2}-4\times 15\left(-12\right)}}{2\times 15}$$

-8 zum Quadrat.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-4\times 15\left(-12\right)}}{2\times 15}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 15.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-60\left(-12\right)}}{2\times 15}$$

Multiplizieren Sie -60 mit -12.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64+720}}{2\times 15}$$

Addieren Sie 64 zu 720.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{784}}{2\times 15}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 784.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±28}{2\times 15}$$

Das Gegenteil von -8 ist 8.

$$x=\frac{8±28}{2\times 15}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 15.

$$x=\frac{8±28}{30}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{8±28}{30}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 8 zu 28.

$$x=\frac{36}{30}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{36}{30} um den niedrigsten Term, indem Sie 6 extrahieren und aufheben.

$$x=\frac{6}{5}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{8±28}{30}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 28 von 8.

$$x=-\frac{20}{30}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{-20}{30} um den niedrigsten Term, indem Sie 10 extrahieren und aufheben.

$$x=-\frac{2}{3}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=\frac{6}{5} x=-\frac{2}{3}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Subtrahieren Sie 8x von beiden Seiten.

$$15x^{2}-12-8x=0$$

Auf beiden Seiten 12 addieren. Eine beliebige Zahl plus null ergibt sich selbst.

$$15x^{2}-8x=12$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 15.

$$\frac{15x^{2}-8x}{15}=\frac{12}{15}$$

Division durch 15 macht die Multiplikation mit 15 rückgängig.

$$x^{2}-\frac{8}{15}x=\frac{12}{15}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{12}{15} um den niedrigsten Term, indem Sie 3 extrahieren und aufheben.

$$x^{2}-\frac{8}{15}x=\frac{4}{5}$$

Dividieren Sie -\frac{8}{15}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -\frac{4}{15} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -\frac{4}{15} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}-\frac{8}{15}x+\left(-\frac{4}{15}\right)^{2}=\frac{4}{5}+\left(-\frac{4}{15}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von -\frac{4}{15}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}-\frac{8}{15}x+\frac{16}{225}=\frac{4}{5}+\frac{16}{225}$$

Addieren Sie \frac{4}{5} zu \frac{16}{225}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$x^{2}-\frac{8}{15}x+\frac{16}{225}=\frac{196}{225}$$

Faktor x^{2}-\frac{8}{15}x+\frac{16}{225}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x-\frac{4}{15}\right)^{2}=\frac{196}{225}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x-\frac{4}{15}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{196}{225}}$$

Vereinfachen.

$$x-\frac{4}{15}=\frac{14}{15} x-\frac{4}{15}=-\frac{14}{15}$$

Addieren Sie \frac{4}{15} zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x=\frac{6}{5} x=-\frac{2}{3}$$